Question

7．某電視臺(tái)“快樂向前沖”節(jié)目中的場(chǎng)地設(shè)施如題圖所示，AB為水平直軌道，上面安裝有電動(dòng)懸掛器，可以載人運(yùn)動(dòng)，水面上漂浮著一個(gè)半徑為R，角速度為ω，鋪有海綿墊的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤的軸心離平臺(tái)的水平距離為L(zhǎng)，平臺(tái)邊緣與轉(zhuǎn)盤平面的高度差為H．選手抓住懸掛器，可以在電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)下，從A點(diǎn)下方的平臺(tái)邊緣處沿水平方向做初速度為零，加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．選手必須作好判斷，在合適的位置釋放，才能順利落在轉(zhuǎn)盤上．設(shè)人的質(zhì)量為m（不計(jì)身高大�。�，人與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力為μmg，重力加速度為g．
①假設(shè)選手落到轉(zhuǎn)盤上瞬間相對(duì)轉(zhuǎn)盤速度立即變?yōu)榱�，為保證他落在距圓心$\frac{R}{2}$以內(nèi)不會(huì)被甩出轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤的角速度ω的最大值是多少？
②若已知H=5m，L=8m，a=2m/s²，g=10m/s²，R=2m且選手從某處C點(diǎn)釋放能恰好落到轉(zhuǎn)盤上，轉(zhuǎn)盤正以角速度ω=$\sqrt{\frac{gμ}{R}}$旋轉(zhuǎn)，假設(shè)選手落到轉(zhuǎn)盤上瞬間相對(duì)轉(zhuǎn)盤速度立即變?yōu)榱悖瑸楸ＷC他落在圓盤內(nèi)不會(huì)被甩出轉(zhuǎn)盤，則他是從平臺(tái)出發(fā)后經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間釋放懸掛器的？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)靜摩擦力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律求出轉(zhuǎn)盤角速度的范圍．
（2）由向心力公式可求得人離圓心的最遠(yuǎn)距離，分別由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可求得放手的時(shí)間

解答 解：（1）設(shè)人落在距圓心$\frac{R}{2}$處不至被甩下，最大靜摩擦力提供向向心力，則有：
μmg≥mω²•$\frac{R}{2}$        
即轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)角度應(yīng)滿足：ω≤$\sqrt{\frac{2μg}{R}}$    
（2）落到轉(zhuǎn)盤的時(shí)間為t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2×5}{10}}s=1s$
設(shè)人落在距離圓心r處不至于被甩下，最大靜摩擦力提供向心力，則有：
μmg≥mω²r
當(dāng)選手落到距離平臺(tái)最近點(diǎn)時(shí)，有：
水平方向有：L-r-x₁=v₁t
x₁=$\frac{1}{2}$at₁²
對(duì)加速過程有由速度公式可得：v₁=at₁
解得：t₁=$\sqrt{7}-1$s；
當(dāng)選手落到距離平臺(tái)最遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)，有：
水平方向有：L+r-x₂=v₂t
加速過程有：x₂=$\frac{1}{2}$at₂²
由速度公式可得：v₂=at₂
解得：t₂=$\sqrt{11}-1$s
則有：$\sqrt{7}-1$s≤t′≤$\sqrt{11}-1$s
答：（1）轉(zhuǎn)盤的角速度ω應(yīng)滿足ω≤$\sqrt{\frac{2μg}{R}}$．
（2）他是從平臺(tái)出發(fā)后經(jīng)過$\sqrt{7}-1$s≤t′≤$\sqrt{11}-1$s釋放懸掛器的．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清選手的運(yùn)動(dòng)過程，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式靈活求解，在第二問中求的落到圓盤而不發(fā)生滑動(dòng)的最大半徑是解題的臨界條件