Question

18．如圖所示，邊界PQ以上和MN以下空間存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度均為4B，PQ、MN間距離為2$\sqrt{3}$d，絕緣板EF、GH厚度不計(jì)，間距為d，板長(zhǎng)略小于PQ、MN間距離，EF、GH之間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．有一個(gè)質(zhì)量為m的帶正電的粒子，電量為q，從EF的中點(diǎn)S射出，速度與水平方向成30°角，直接到達(dá)PQ邊界并垂直于邊界射入上部場(chǎng)區(qū)，軌跡如圖所示，以后的運(yùn)動(dòng)過程中與絕緣板相碰時(shí)無能量損失且遵循反射定律，經(jīng)過一段時(shí)間后該粒子能再回到S點(diǎn)．（粒子重力不計(jì)）求：①粒子從S點(diǎn)出發(fā)的初速度v； 
②粒子從S點(diǎn)出發(fā)第一次再回到S點(diǎn)的時(shí)間；
③若其他條件均不變，EF板不動(dòng)，將GH板從原位置起向右平移，且保證EFGH區(qū)域內(nèi)始終存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，若仍需讓粒子回到S點(diǎn)（回到S點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中與板只碰撞一次），則GH到EF的垂直距離x應(yīng)滿足什么關(guān)系？（用d來表示x）

Answer 1

分析 ①根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在EF和GH間做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，結(jié)合半徑公式求出粒子從S點(diǎn)出發(fā)的初速度．
②作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期公式，結(jié)合圓心角的大小求出粒子從S點(diǎn)出發(fā)第一次再回到S點(diǎn)的時(shí)間．
③作出粒子的軌跡圖，結(jié)合粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期性，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求出GH到EF的垂直距離x應(yīng)滿足通項(xiàng)表達(dá)式．

解答 解：①粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
PQ、MN間的距離：L=2$\sqrt{3}$d，且s為中點(diǎn)，
由幾何知識(shí)可知：R₁sin60°=$\sqrt{3}$d，解得：R₁=2d，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$，解得：v=$\frac{2qBd}{m}$；
②粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，粒子應(yīng)從G點(diǎn)進(jìn)入PQ的場(chǎng)
在4B場(chǎng)內(nèi)，由牛頓第二定律得：qv•4B=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$，解得：R₂=$\frac{{R}_{1}}{4}$=$\fracznavxan{2}$，
做半圓，并垂直PQ再由E點(diǎn)回到B場(chǎng)區(qū)，
由對(duì)稱性，粒子將打到GH中點(diǎn)并反彈，再次回到S點(diǎn)的軌跡如圖
粒子在B場(chǎng)中時(shí)間：t₁=4×$\frac{1}{6}$T₁=$\frac{2}{3}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{4πm}{3qB}$，
粒子在4B場(chǎng)中時(shí)間：t₂=2×$\frac{1}{2}$T₂=T₂=$\frac{2πm}{q×4B}$=$\frac{πm}{2qB}$，
粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t_總=t₁+t₂=$\frac{11πm}{6qB}$；
③如圖所示，由粒子運(yùn)行的周期性以及與板碰撞遵循反射定律，有如下結(jié)果：
x=（3n+1）d  （n=0、1、2…）或 x=3nd （n=0、1、2…）；
答：①粒子從S點(diǎn)出發(fā)的初速度為$\frac{2qBd}{m}$；
②粒子從S點(diǎn)出發(fā)第一次再回到S點(diǎn)的時(shí)間為$\frac{11πm}{6qB}$；
③GH到EF的垂直距離x應(yīng)滿足x=（3n+1）d，（n=0，1，2，3…） 或 x=3nd，（n=0，1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵作出軌跡圖，結(jié)合半徑公式、周期公式進(jìn)行求解，在第三問中，要注意粒子運(yùn)動(dòng)的周期性．本題難度較大．