Question

20．如圖所示，光滑絕緣水平面上靜止放置一根長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m、帶+Q電量的絕緣棒AB，棒的質(zhì)量和電量分布均勻，O點(diǎn)右側(cè)區(qū)域存在大小為E、水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，B、O之間的距離為x₀．現(xiàn)對(duì)棒施加水平向右、大小為F=$\frac{1}{4}$QE的恒力作用，求：
（1）B端進(jìn)入電場(chǎng)$\frac{1}{8}$L時(shí)加速度的大小和方向．
（2）棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中獲得的最大動(dòng)能．
（3）棒具有電勢(shì)能的最大可能值．（設(shè)O點(diǎn)處電勢(shì)為零）

Answer 1

分析 （1）棒的B端進(jìn)入電場(chǎng)$\frac{1}{8}$L時(shí)，分析棒的受力情況：向右的恒力$\frac{1}{4}$QE，向左的電場(chǎng)力$\frac{L}{8}•\frac{QE}{L}$，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度；
（2）棒進(jìn)入電場(chǎng)的過(guò)程中，恒力先大于電場(chǎng)力，后恒力小于電場(chǎng)力，棒先做加速運(yùn)動(dòng)后做減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)恒力與電場(chǎng)力平衡時(shí)，速度最大，由平衡條件求出棒進(jìn)入電場(chǎng)的距離，由動(dòng)能定理求解最大動(dòng)能；
（3）棒減速到零時(shí)，棒可能全部進(jìn)入電場(chǎng)，也可能不能全部進(jìn)入電場(chǎng)，分情況進(jìn)行討論，根據(jù)動(dòng)能定理求出棒進(jìn)入電場(chǎng)的距離，由電場(chǎng)力做功求出電勢(shì)能的最大值．

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律：$\frac{QE}{4}-（\frac{L}{8}•\frac{Q}{L}）E=ma$
解出$a=\frac{QE}{8m}$，方向水平向右．
（2）設(shè)棒進(jìn)入電場(chǎng)x時(shí)，其動(dòng)能達(dá)到最大，
此時(shí)棒所受合力應(yīng)為零，即：$\frac{QE}{4}=x•\frac{Q}{L}E$，得x=$\frac{1}{4}$L
動(dòng)能定理：$\frac{QE}{4}（{x}_{0}^{\;}+x）-\frac{（0+\frac{QE}{4}）}{2}x={E}_{k}^{\;}-0$
解出動(dòng)能最大值${E}_{km}^{\;}=\frac{QE}{4}（{x}_{0}^{\;}+\frac{L}{8}）$
（3）設(shè)絕緣棒恰好能夠全部進(jìn)入電場(chǎng)，
動(dòng)能定理：$\frac{QE}{4}（{x}_{0}^{\;}+L）-\frac{Q}{2}EL=0$，解出得x₀=L．
存在三種可能性：
可能1，x₀=L時(shí)，電勢(shì)能最大值${E}_{m}^{\;}=\frac{1}{2}QEL$
可能2，x₀＜L，棒只能部分進(jìn)入電場(chǎng)，設(shè)進(jìn)入電場(chǎng)x，
動(dòng)能定理：$\frac{QE}{4}（{x}_{0}^{\;}+x）-\frac{0+\frac{xQE}{L}}{2}x=0$，解得：$x=\frac{{L+\sqrt{{L^2}+8L{x_0}}}}{4}$，
電勢(shì)能最大值${E}_{m}^{\;}=\frac{QE}{4}（{x}_{0}^{\;}+\frac{L+\sqrt{{L}_{\;}^{2}+8L{x}_{0}^{\;}}}{4}）$
可能3，x₀＞L，棒全部進(jìn)入電場(chǎng)，
設(shè)進(jìn)入電場(chǎng)x′，動(dòng)能定理：$\frac{QE}{4}（{x}_{0}^{\;}+x）-\frac{QE}{2}L-QE（x′-L）=0$，解得：$x′=\frac{{{x_0}+2L}}{3}$，
電勢(shì)能最大值${E}_{m}^{\;}=\frac{QE}{4}（{x}_{0}^{\;}+x）=\frac{QE}{4}\frac{4{x}_{0}^{\;}+2L}{3}$=$\frac{QE（2{x}_{0}^{\;}+L）}{6}$
答：（1）B端進(jìn)入電場(chǎng)$\frac{1}{8}$L時(shí)加速度的大小$\frac{QE}{8m}$和方向水平向右．
（2）棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中獲得的最大動(dòng)能$\frac{QE}{4}（{x}_{0}^{\;}+\frac{L}{8}）$．
（3）棒具有電勢(shì)能的最大可能值可能1，x₀=L時(shí)，電勢(shì)能最大值${E}_{m}^{\;}=\frac{1}{2}QEL$
可能2，x₀＜L，棒只能部分進(jìn)入電場(chǎng)電勢(shì)能最大值${E}_{m}^{\;}=\frac{QE}{4}（{x}_{0}^{\;}+\frac{L+\sqrt{{L}_{\;}^{2}+8L{x}_{0}^{\;}}}{4}）$
可能3，x₀＞L，棒全部進(jìn)入電場(chǎng)電勢(shì)能最大值${E}_{m}^{\;}=\frac{QE}{4}（{x}_{0}^{\;}+x）=\frac{QE}{4}\frac{4{x}_{0}^{\;}+2L}{3}$=$\frac{QE（2{x}_{0}^{\;}+L）}{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題中由于棒受到的電場(chǎng)力隨x均勻變化，用平均值求解電場(chǎng)力做功．棒能否全部進(jìn)入電場(chǎng)不清楚時(shí)，要分情況進(jìn)行討論，不能漏解