Question

6．如圖所示，有一與水平面成θ角的傳送帶AB，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，以恒定速率v向上傳送，現(xiàn)在A(yíng)端放上質(zhì)量為m的物體，物體與皮帶間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為μ（摩擦力足以使物體上升），則物體到達(dá)B端的時(shí)間為多少？若要時(shí)間最短，則傳動(dòng)帶速率至少應(yīng)為多少？

Answer 1

分析 根據(jù)牛頓第二定律求出勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度，討論物體可能一直做勻加速運(yùn)動(dòng)，或先做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，然后做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
當(dāng)物體一直做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，結(jié)合速度位移公式求出傳送帶的最小速率．

解答 解：物體向上做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度a=μgcosθ-gsinθ，
①若物體一直做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，解得t=$\sqrt{\frac{2L}{a}}$=$\sqrt{\frac{2L}{μgcosθ-gsinθ}}$，
②若物體先做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，然后做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{1}=\frac{v}{a}=\frac{v}{μgcosθ-gsinθ}$，
勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{2}=\frac{L-\frac{{v}^{2}}{2a}}{v}=\frac{L}{v}-\frac{v}{2（μgcosθ-gsinθ）}$，
則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=t₁+t₂=$\frac{L}{v}+\frac{v}{2（μgcosθ-gsinθ）}$．
當(dāng)物體一直做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，時(shí)間最短，則傳送帶的最小速率v=$\sqrt{2aL}$=$\sqrt{2（μgcosθ-gsinθ）L}$．
答：物體到達(dá)B端的時(shí)間為$\sqrt{\frac{2L}{μgcosθ-gsinθ}}$或$\frac{L}{v}+\frac{v}{2（μgcosθ-gsinθ）}$．傳動(dòng)帶速率至少應(yīng)為$\sqrt{2（μgcosθ-gsinθ）L}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清物體在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解，難度中等．