Question

（2011?浙江模擬）如圖，在直角坐標系xoy中，點M（0，1）處不斷向+y方向發(fā)射出大量質量為m、帶電量為-q的粒子，粒子的初速度大小廣泛分布于零到v₀之間．已知這些粒子此后所經(jīng)磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向里，所有粒子都沿+x方向經(jīng)過b區(qū)域，都沿-y的方向通過點N（3，0）．
（1）通過計算，求出符合要求的磁場范圍的最小面積；
（2）若其中速度為k₁v₀和k₂v₀的兩個粒子同時到達N點（1＞k₁＞k₂＞0），求二者發(fā)射的時間差．

Answer 1

分析：帶電粒子沿y軸正方向射入，在磁場的洛倫茲力作用下發(fā)生偏轉，然后所以粒子沿+x方向經(jīng)過b區(qū)域，則磁場的右邊界由數(shù)學關系推導出與R無關，而是一條直線．那么磁場的左邊界則是一段圓弧，其半徑由洛倫茲力提供向心力公式求解得．由于對稱，則可求出磁場的最小面積．兩種粒子在磁場中運動時間是相等，它們發(fā)射的時間差是因速度不同導致的．

解答：解

（1）在a區(qū)域，設任一速度為v的粒子偏轉90°后從（x，y）離開磁場，
由幾何關系有x=R，y=R+

mv0

qB

，
    得y=x+

mv0

qB

，
上式與R無關，說明磁場右邊界是一條直線
左邊界是速度為v₀的粒子的軌跡：qv0B=m

v02

R0

，得：R0=

mv0

qB

此后粒子均沿+x方向穿過b區(qū)域，進入c區(qū)域，由對稱性知，其磁場區(qū)域如圖．
磁場的面積S=2(

1

4

πR02-

1

2

R02)=(

π

2

-1)

m2v02

q2B2

（2）如圖所示，速度為k₁v₀的粒子在a區(qū)域磁場的時間為t1=

πm

2qB

兩個階段的直線運動的時間共為t2=

3 mv0 qB -2 mk1v0 qB

k1v0

=(

3

k1

-2)

m

qB

在c區(qū)域磁場的時間為t3=

πm

2qB

所以這兩個粒子的發(fā)射時間差只與t₂有關
速度為k₂v₀的粒子在直線運動階段的時間為

t

′ 2

=(

3

k2

-2)

m

qB

    △t=(

3

k2

-2)

m

qB

-(

3

k1

-2)

m

qB

=

3m

qB

(

1

k2

-

1

k1

)

點評：利用數(shù)學表達式，導出磁場右邊界的函數(shù)關系式．同時相同粒子不同速度在磁場中的時間是相等，由于速度的不同，導致直線運動中時間不一．