Question

兒童滑梯可以看作是由斜槽AB和水平槽CD組成，中間用很短的光滑圓弧槽BC連接，如圖所示。質(zhì)量為m的兒童從斜槽的頂點(diǎn)A由靜止開(kāi)始沿斜槽AB滑下，再進(jìn)入水平槽CD，最后停在水平槽上的E點(diǎn)，由A到E的水平距離設(shè)為L(zhǎng)。假設(shè)兒童可以視作質(zhì)點(diǎn)，已知兒童的質(zhì)量為m，他與斜槽和水平槽間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ，A點(diǎn)與水平槽CD的高度差為h。

(1)求兒童從A點(diǎn)滑到點(diǎn)E的過(guò)程中，重力做功和克服摩擦力做功。

(2)試分析說(shuō)明，兒童沿滑梯滑下通過(guò)的水平距離L與斜槽AB跟水平面的夾角無(wú)關(guān)。

(3)要使兒童沿滑梯滑下過(guò)程中的最大速度不超過(guò)v，斜槽與水平面的夾角不能超過(guò)多少?(可用反三角函數(shù)表示)

Answer 1

(1)兒童從A點(diǎn)滑到正點(diǎn)的過(guò)程中，重力做功W=mgh。兒童由靜止開(kāi)始滑下最后停在E點(diǎn)，在整個(gè)過(guò)程中重力做功和克服摩擦力做功W₁，有mgh-W₁=0，則克服摩擦力做功W₁=mgh。

(2)設(shè)斜槽AB與水平面的夾角為α。兒童在斜槽上受重力mg、支持力N₁．和滑動(dòng)摩擦力f₁，f₁=μmgcosα。

兒童在水平槽上受重力mg、支持力N₂和滑動(dòng)摩擦力f₂，f₂=μmg。

兒童從A點(diǎn)由靜止滑下，最后停在E點(diǎn)，由動(dòng)能定理，有mgh-μmgcosα·-μmg(L—hcotα)=0，

解得L=，它與角α無(wú)關(guān)。

(3)兒童沿滑梯滑下的過(guò)程中，通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度最大，顯然，傾角a越大，通過(guò)B點(diǎn)的速度越大，設(shè)傾角為α₀時(shí)有最大速度v，由動(dòng)能定理，有mgh-μmgcosα₀·mv²，解得最大傾角α₀=arccot()