Question

10．如圖所示，一質(zhì)量為m、長為L的木板A靜止在光滑水平面上，其左側(cè)固定一勁度系數(shù)為k的水平輕質(zhì)彈簧，彈簧原長為l₀，右側(cè)用一不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩連接于豎直墻上．現(xiàn)使一可視為質(zhì)點(diǎn)小物塊B以初速度v₀從木板的右端無摩擦地向左滑動(dòng)，而后壓縮彈簧．設(shè)B的質(zhì)量為λm，當(dāng)λ=1時(shí)細(xì)繩恰好被拉斷．已知彈簧彈性勢能的表達(dá)式E_p=$\frac{1}{2}$kx²，其中k為勁度系數(shù)，x為彈簧的壓縮量．求：
（1）細(xì)繩所能承受的最大拉力的大小F_m
（2）當(dāng)λ=1時(shí)，小物塊B滑離木板A時(shí)木板運(yùn)動(dòng)位移的大小s_A
（3）當(dāng)λ=2時(shí)，求細(xì)繩被拉斷后長木板的最大加速度a_m的大小
（4）為保證小物塊在運(yùn)動(dòng)過程中速度方向不發(fā)生變化，λ應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）細(xì)繩恰好被拉斷時(shí)，B的速度為0，細(xì)繩拉力最大，根據(jù)胡克定律及能量關(guān)系求解；
（2）細(xì)繩拉斷后小物塊和長木板組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律結(jié)合小物塊滑離木板時(shí)木板二者的位移關(guān)系列式求解；
（3）當(dāng)λ=2時(shí)設(shè)細(xì)繩被拉斷瞬間小物塊速度大小為v₁，根據(jù)能量守恒定律列式，細(xì)繩拉斷后，小物塊和長木板之間通過彈簧的彈力發(fā)生相互作用，當(dāng)彈簧被壓縮至最短時(shí)，長木板的加速度最大，此時(shí)小物塊和長木板的速度相同，設(shè)其大小為v，彈簧壓縮量為x，則由動(dòng)量守恒和能量守恒列式，聯(lián)立方程即可求解；
（4）由題意，λ＜1時(shí)，細(xì)繩不會(huì)被拉斷，木板保持靜止，小物塊向左運(yùn)動(dòng)壓縮彈簧后必將反向運(yùn)動(dòng)．λ＞1時(shí)，小物塊向左運(yùn)動(dòng)將彈簧壓縮x₀后細(xì)繩被拉斷，設(shè)此時(shí)小物塊速度大小為u₁
由能量關(guān)系列式，此后在彈簧彈力作用下小物塊做減速運(yùn)動(dòng)．設(shè)彈簧恢復(fù)原長時(shí)小物塊速度恰減小為零，根據(jù)動(dòng)量守恒列式，聯(lián)立方程即可求解．

解答 解：（1）細(xì)繩恰好被拉斷時(shí)，B的速度為0，細(xì)繩拉力為F_m，設(shè)此時(shí)彈簧的壓縮量為x₀，則有：kx₀=F_m
由能量關(guān)系，有：$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}kx_0^2$
解得：${F_m}={v_0}\sqrt{mk}$
（2）細(xì)繩拉斷后小物塊和長木板組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有：0=mv_A-mv_B
則小物塊滑離木板時(shí)木板二者的位移關(guān)系為：S_A=S_B
又S_A+S_B=L-l₀+x₀
解得：${s_A}=\frac{1}{2}（L-{l_0}+{v_0}\sqrt{\frac{m}{k}}）$
（3）當(dāng)λ=2時(shí)設(shè)細(xì)繩被拉斷瞬間小物塊速度大小為v₁，則有：$\frac{1}{2}（2m）v_0^2=\frac{1}{2}（2m）v_1^2+\frac{1}{2}kx_0^2$
細(xì)繩拉斷后，小物塊和長木板之間通過彈簧的彈力發(fā)生相互作用，當(dāng)彈簧被壓縮至最短時(shí)，長木板的加速度最大，此時(shí)小物塊和長木板的速度相同，設(shè)其大小為v，彈簧壓縮量為x，則由動(dòng)量守恒和能量守恒有：（2m）v₁=（2m+m）v
$\frac{1}{2}（2m）v_0^2=\frac{1}{2}（2m+m）{v^2}+\frac{1}{2}k{x^2}$
對(duì)長木板，有：kx=ma_m
解得：${a_m}=\frac{{2{v_0}}}{3}\sqrt{\frac{3k}{m}}$
（4）由題意，λ＜1時(shí)，細(xì)繩不會(huì)被拉斷，木板保持靜止，小物塊向左運(yùn)動(dòng)壓縮彈簧后必將反向運(yùn)動(dòng)．λ＞1時(shí)，小物塊向左運(yùn)動(dòng)將彈簧壓縮x₀后細(xì)繩被拉斷，設(shè)此時(shí)小物塊速度大小為u₁
由能量關(guān)系，有：$\frac{1}{2}（λm）v_0^2=\frac{1}{2}（λm）u_1^2+\frac{1}{2}kx_0^2$
此后在彈簧彈力作用下小物塊做減速運(yùn)動(dòng)．設(shè)彈簧恢復(fù)原長時(shí)小物塊速度恰減小為零，此時(shí)木板的速度為u₂，則有：（λm）u₁=0+mu₂
$\frac{1}{2}（λm）u_1^2+\frac{1}{2}kx_0^2=\frac{1}{2}mu_2^2$
解得：λ=2
所以為保證小物塊在運(yùn)動(dòng)過程中速度方向不發(fā)生變化，λ應(yīng)滿足的條件為：λ≥2．
答：（1）細(xì)繩所能承受的最大拉力的大小為${v}_{0}\sqrt{mk}$；
（2）當(dāng)λ=1時(shí)，小物塊B滑離木板A時(shí)木板運(yùn)動(dòng)位移的大小為$\frac{1}{2}（L-{l}_{0}+{v}_{0}\sqrt{\frac{m}{k}}）$；
（3）當(dāng)λ=2時(shí)，求細(xì)繩被拉斷后長木板的最大加速度a_m的大小為$\frac{2{v}_{0}}{3}\sqrt{\frac{3k}{m}}$；
（4）為保證小物塊在運(yùn)動(dòng)過程中速度方向不發(fā)生變化，λ應(yīng)滿足的條件為λ≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要分析清楚滑塊和滑板的運(yùn)動(dòng)情況，能結(jié)合能量守恒定律和動(dòng)量守恒定律多次列式后聯(lián)立分析，難度較大．