Question

8．如圖所示，水平地面上有一固定的長(zhǎng)方形絕緣光滑水平臺(tái)面其中OPQX邊長(zhǎng) L₁=5m；QX邊長(zhǎng)L₂=4m，平臺(tái)高h(yuǎn)=3.2m．平行板電容器的極板CD間距d=1m，且垂直放置于臺(tái)面，C板位于邊界0P上，D板與邊界OX相交處有一小孔．電容器外的區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．質(zhì)量m=1×10^-10kg電荷量q=1×10^-10c的帶正電微粒靜止于0處，在C D間加上電壓U，C板電勢(shì)高于D板，板間電 場(chǎng)可看成是勻強(qiáng)電場(chǎng)，板間微粒經(jīng)電場(chǎng)加速后由D板所開(kāi)小孔進(jìn)入磁場(chǎng)（微粒始終不與極板接觸，假定微粒在真空中運(yùn)動(dòng)，微粒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中電量保持不變，取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6
（1）若微粒正好從的中點(diǎn)離開(kāi)平臺(tái)，求其在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率；
（2）電壓大小可調(diào)，不同加速電壓，微粒離開(kāi)平臺(tái)的位置將不同，要求微粒由PQ邊界離開(kāi)臺(tái)面，求加速電壓V的范圍；
（3）若加速電壓U=3.125v 在微粒離開(kāi)臺(tái)面時(shí)，位于Q正下方光滑水平地面上A點(diǎn)的滑塊獲得一水平速 度，在微粒落地時(shí)恰好與滑塊相遇，滑塊視為質(zhì)點(diǎn)，求滑塊開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的初速度．

Answer 1

分析 （1）作出粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的俯視圖，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，結(jié)合粒子在磁場(chǎng)中的半徑公式求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率．
（2）作出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界軌跡圖，結(jié)合半徑公式求出速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出電壓的范圍．
（3）作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子的速度，從而結(jié)合半徑公式求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑，通過(guò)幾何關(guān)系和數(shù)學(xué)的余弦定理求出滑塊開(kāi)始的初速度．

解答 解：（1）微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)俯視圖如圖所示，設(shè)運(yùn)動(dòng)半徑為R，由幾何關(guān)系得：
R₁²=（R₁-$\frac{{L}_{2}}{2}$）²+（L₁-d）²，
解得：R₁=5m，
根據(jù)牛頓第二定律得：qBv₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$，
解得：${R_1}=\frac{{m{v_1}}}{qB}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=5m/s．
（2）微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)俯視示意圖，臨界軌跡如圖所示．
微�？梢詮腝點(diǎn)離開(kāi)平臺(tái)如線Ⅰ，R₂=4m，
在磁場(chǎng)中，有：${R_2}=\frac{{m{v_2}}}{qB}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v₂=4m/s．
在電場(chǎng)中，有：$q{U_1}=\frac{1}{2}mv_2^2$，
代入數(shù)據(jù)解得：U₁=8V，
微粒軌跡與PQ邊界相切如線Ⅱ，R₃=2m，
在磁場(chǎng)中，有：${R_3}=\frac{{m{v_3}}}{qB}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v₃=2m/s，
在電場(chǎng)中，$q{U_2}=\frac{1}{2}mv_3^2$，
代入數(shù)據(jù)解得：U₃=2V．
則從PQ邊界離開(kāi)范圍為：U₂＜U≤U₃，即：2V＜U≤8V．
（3）電場(chǎng)中：$q{U_3}=\frac{1}{2}mv_4^2$，代入數(shù)據(jù)解得：v₄=2.5m/s，
${R_4}=\frac{{m{v_4}}}{qB}$
代入數(shù)據(jù)解得：R₄=2.5m，
設(shè)離開(kāi)點(diǎn)N與M的距離為x，由幾何關(guān)系得：
$R_4^2={x^2}+（{L_2}-{R_4}{）^2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：x=2m．
sinθ=$\frac{x}{{R}_{4}}$，
解得：θ=53°．
微粒在空中運(yùn)動(dòng)，豎直方向：$h=\frac{1}{2}g{t^2}$，t=0.8s，
水平方向上勻速運(yùn)動(dòng)，與物塊在Z點(diǎn)相遇，設(shè)物塊的位移為S，根據(jù)余弦定理：
$S=\sqrt{（{v_4}t{）^2}+{{\overline{NQ}}^2}-2{v_4}\overline{NQ}cos（180°-α）}=\sqrt{12.8}m$，
${v_0}=\frac{S}{t}=2\sqrt{5}m/s$
設(shè)速度方向與PQ的夾角為α，
vtcosα=2+v₄tcos53°，vtsinα=v₄tsin53°，
聯(lián)立解得：tanα=$\frac{1}{2}$，
解得：α=arctan$\frac{1}{2}$=26.6°．
答：（1）在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率為5m/s；
（2）加速電壓的范圍為2V＜U≤8V．
（3）滑塊開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的初速度為2$\sqrt{5}$m/s，初速度的方向與PQ的夾角為26.5°．

點(diǎn)評(píng) 該題考察的數(shù)學(xué)知識(shí)在物理中的應(yīng)用，尤其是三角函數(shù)的應(yīng)用．三角函數(shù)的應(yīng)用在近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，盡管它只是起到運(yùn)算作用，但是如果忘記了三角函數(shù)公式是無(wú)法進(jìn)行下去的，自然得不到正確的結(jié)果．由于是物理試題，三角函數(shù)過(guò)程在解答過(guò)程可以不體現(xiàn)、只在草稿紙上畫(huà)．
此方面的問(wèn)題具體要做到以下兩點(diǎn)：
（1）能夠根據(jù)具體問(wèn)題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論．
（2）必要時(shí)能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖象進(jìn)行表達(dá)、分析．