Question

2．一質(zhì)量為m的物體，放在傾角為30°的斜面上，恰能勻速下滑．
（1）物體在大小為F的水平向右的恒力作用下，沿斜面勻速向上滑行，如圖所示，當(dāng)斜而傾角增大并超過某一值時(shí)，不論水平恒力F多大，都不能使物體沿斜而向上滑行，試求這一臨界角的大�。�
（2）保持斜面傾角30°不變，在豎直平面內(nèi)施加外力，使物體沿斜面向上勻速滑行，求最小的外力大小和方向．

Answer 1

分析 （1）物體勻速下滑時(shí)受力平衡，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件并結(jié)合正交分解法列方程，同時(shí)結(jié)合摩擦力公式求解動(dòng)摩擦因素μ，設(shè)斜面傾角為α，由勻速直線運(yùn)動(dòng)的條件求出推力的表達(dá)式，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，即可求解臨界角大�。�
（2）設(shè)F與斜面成β角時(shí)，F(xiàn)最小，物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受力平衡，根據(jù)平衡條件求出F的表達(dá)式，再結(jié)合數(shù)學(xué)方向求出最小的外力大小和方向．

解答 解：（1）恰能勻速下滑：mgsin30°=μmgcos30°
得：$μ=\frac{sin30°}{cos30°}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
設(shè)斜面傾角為α，由勻速直線運(yùn)動(dòng)的條件：
沿斜面方向上有：Fcosα=mgsinα+f₁
N₁=mgcosα+Fsinα
f₁=μ_N1
解得：$F=\frac{mgsinα+μmgcosα}{cosα-μsinα}$
當(dāng)cosα-μsinα=0   即cotα=μ 時(shí)，F(xiàn)→∞，
即“不論水平恒力F多大，都不能使物體沿斜面向上滑行”此時(shí)，α=60°
（2）設(shè)F與斜面成β角時(shí)，F(xiàn)最小，物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受力平衡，則有：
Fcosβ=mgsin30°+f₂，
N₂+Fsinβ=mgcos30°
f₂=μN(yùn)₂
解得：F=$\frac{mgsin30°+μmgcos30°}{cosβ+μsinβ}$=$\frac{mg}{cosβ+μsinβ}$
當(dāng)cosβ+μsinβ最大時(shí)，F(xiàn)最小，
對(duì)y=cosβ+μsinβ求導(dǎo)數(shù)，得：y′=μcosβ-sinβ
令y′=0得：tanβ=μ 即，β=30°時(shí)F最省，此時(shí) F=$\frac{\sqrt{3}mg}{2}$
答：（1）這一臨界角的大小為60°．
（2）最小的外力大小為$\frac{\sqrt{3}mg}{2}$，方向與斜面成30°斜向上．

點(diǎn)評(píng) 本題是簡單的力平衡問題，關(guān)鍵是分析物體的受力情況，根據(jù)平衡條件列式求解，特別注意用數(shù)學(xué)知識(shí)來確定極值問題，難度較大．