Question

18．如圖所示，x軸上方有垂直xOy平面向里、范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)I，質(zhì)量為m、電荷量為-q（q＞0）的粒子在xOy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)．某時(shí)刻粒子經(jīng)過(guò)y軸上y=a的P點(diǎn)，速度方向與y軸正方向的夾角θ=30°、經(jīng)過(guò)時(shí)間t₀粒子經(jīng)過(guò)x軸，速度方向與粒子在P點(diǎn)的速度方向相反．不計(jì)粒子的重力，
（1）求粒子運(yùn)動(dòng)的速度v₀和磁場(chǎng)I的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₁；
（2）若粒子以第（1）問(wèn)中的速度v₀經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)，在x軸上方再疊加一個(gè)方向垂直xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ，使粒子能在磁場(chǎng)中做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂應(yīng)滿(mǎn)足的條件．

Answer 1

分析 （1）由幾何知識(shí)得到粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由弧長(zhǎng)除以時(shí)間得到速率；由題意易得粒子運(yùn)動(dòng)的周期，由周期公式得到磁場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的方向有兩種情況：①B₂與B₁同方向，粒子順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，②B₂與B₁反向，粒子逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，分兩情況討論；粒子能在磁場(chǎng)中做完整的圓周運(yùn)動(dòng)則其軌跡必定與x軸相切，由幾何知識(shí)得到粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由洛倫茲力提供向心力討論勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂應(yīng)滿(mǎn)足的條件；

解答 解：（1）經(jīng)過(guò)x軸時(shí)速度方向與粒子在P點(diǎn)的速度方向相反，故粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半周，v₀t₀=πr，
有幾何關(guān)系可知，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=a，
解得：${v}_{0}=\frac{πa}{{t}_{0}}$
由洛倫茲力提供向心力可知：q${{v}_{0}B}_{1}=\frac{{mv}_{0}^{2}}{r}$
解得：B₁=$\frac{πm}{{qt}_{0}}$
（2）有兩種情況：
①B₂與B₁同向，粒子順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，若最大半徑為r₁，對(duì)應(yīng)的（B₁+B₂）最小，這時(shí)有：
qv₀（B₁+B₂）=$\frac{{mv}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$
其中，r₁+r₁sin30°=a，
所以r₁=$\frac{2a}{3}$
解得：${B}_{2}=\frac{πm}{2{qt}_{0}}$
所以當(dāng)B₂方向垂直xoy平面向里時(shí)，應(yīng)滿(mǎn)足B₂≥$\frac{πm}{2{qt}_{0}}$
②B₂與B₁反向，粒子逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑最大（設(shè)為r₂）時(shí)，對(duì)應(yīng)的（B₂-B₁）最小，
這時(shí)有：${qv}_{0}{（B}_{2}{-B}_{1}）=\frac{{mv}_{0}^{2}}{{r}_{2}}$
而r₂-r₂sin30°=a，
解得：${B}_{2}=\frac{3πm}{2{qt}_{0}}$
所以B₂方向垂直xoy平面向外時(shí)，應(yīng)滿(mǎn)足：${B}_{2}≥\frac{3πm}{2{qt}_{0}}$
答：（1）求粒子運(yùn)動(dòng)的速度為$\frac{πa}{{t}_{0}}$，磁場(chǎng)I的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\frac{πm}{{qt}_{0}}$；
（2）當(dāng)B₂方向垂直xoy平面向里時(shí)，應(yīng)滿(mǎn)足B₂≥$\frac{πm}{2{qt}_{0}}$，B₂方向垂直xoy平面向外時(shí)，應(yīng)滿(mǎn)足：${B}_{2}≥\frac{3πm}{2{qt}_{0}}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)中和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，理清粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，處理粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，要會(huì)確定粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑和圓心角，此類(lèi)題型難度較大，經(jīng)常作為考試的壓軸題出現(xiàn)．