Question

如圖所示，在水平長直的軌道上，有一長度為L的平板車在外力控制下始終保持速度v₀，做勻速直線運動．某時刻將一質量為m，可視為質點的小滑塊輕放到車面距右端

L

3

的c處，滑塊剛好停在小車左端A處，設定平板車上表面各處粗糙程度相同．
（1）求滑塊和平板車摩擦產生的內能；
（2）若平板車車速為2v₀，且保持不變，當滑塊輕放到車面C處的同時對該滑塊施加一個與車運動方向相同的恒力F，要保證滑塊不能從車的左端A處掉下，恒力F大小應該滿足什么條件？
（3）在（2）的情況下，力F取最小值，要保證滑塊不從車上掉下，力F的作用時間應該在什么范圍內？

Answer 1

分析：（1）小滑塊在滑動摩擦力的作用下向右加速，根據牛頓第二定律、運動學公式和功能關系，結合幾何關系列式求解；
（2）假設取最小值，則滑塊恰好滑到最左端，再次根據牛頓第二定律、運動學公式和功能關系，結合幾何關系列式求解；
（3）小滑塊在平板車上先加速后減速，根據牛頓第二定律求加速度，根據運動學公式和幾何關系列式聯立求解恰好不掉下的臨界時間．

解答：解：（1）設小滑塊受平板車的動摩擦力大小為f
根據牛頓第二定律，滑塊相對車滑動時的加速度為a=

f

m

滑塊相對車滑動時間t=

v0

a

滑塊相對車滑動距離S=v₀t-

1

2

v₀t=v₀t
滑塊與車摩擦產生的內能Q=fs
解得Q=

1

2

mv₀²，f=

3 mv 2 0

4L

即滑塊和平板車摩擦產生的內能為

1

2

mv₀²．
（2）設恒力F取最小值F′，滑塊加速度為a₁，此時滑塊恰好達到車的左端，則滑塊運動到車左端的時間 t₁=

2v0

a1

由幾何關系，有 2v₀t₁-

1

2

v₀t₁=

2L

3

由牛頓定律有 F′+f=ma₁
解得：F′=3f=

9m v 2 0

4L

，t₁=

2L

3v0

則恒力F大小應該滿足條件是F≥

9m v 2 0

4L

．
（3）力F取最小值，當滑塊運動到車左端后，為使滑塊恰不從右端畫出，相對車先做勻加速運動（設運動加速度為a₂，時間為t₂），再做勻減速運動（設加速度大小為a₃）．到達車右端時，與車有共同速度，則有
F′-f=ma₂
f=ma₃

1

2

a2t

2 2

+

a 2 2 t 2 2

2a3

=L
代入數據解得 t₂=

2L

3v0

則力F的作用時間t應該滿足t₁≤t≤t₁+t₂，即

2L

3v0

≤t≤

4L

3v0

即力F的作用時間應該滿足

2L

3v0

≤t≤

4L

3v0

．

點評：本題關鍵是分析清楚物體受力后，根據牛頓第二定律求得各段的加速度，然后根據運動學公式結合幾何關系列式求解．