Question

（2008?鹽城二模）如圖所示，水平虛線L₁、L₂之間是勻強磁場，磁場方向水平向里，磁場高度為  h，豎直平面內有一等腰梯形線框，底邊水平，其上下邊長之比為5：1，高為2h，現(xiàn)使 線框AB邊在磁場邊界L₁的上方h高處由靜止自由下落，當AB邊剛進入磁場時加速度恰好為0，在DC邊剛進入磁場前的一段時間內，線框做勻速運動．求：
（1）DC邊剛進入磁場時，線框的加速度
（2）從線框開始下落到DC邊剛進入磁場的過程中，線框的機械能損失和重力做功之比．

Answer 1

分析：（1）由機械能守恒求出AB剛進入磁場時的速度．根據(jù)AB剛進入磁場時加速度恰好為0，由平衡條件列出重力與安培力的關系方程．在DC邊剛進入磁場前的一段時間內，線框做勻速運動，此時線框有效切割長度為2l，由平衡條件得到重力與安培力的關系式，將兩個重力與安培力的關系式進行對比，求出DC邊剛進入磁場前線框勻速運動時的速度．DC邊剛進入磁場瞬間，線框有效切割的長度為3l，推導出安培力表達式，由牛頓第二定律求出加速度．
（2）從線框開始下落到DC邊剛進入磁場的過程中，根據(jù)能量守恒求出機械能的損失，再求解線框的機械能損失和重力做功之比．

解答：解：（1）設AB剛進入磁場時速度為v₀，線框質量為m、電阻為R，AB=l，CD=5l．
根據(jù)機械能守恒得
   mgh=

1

2

m

v

2 0

當AB邊剛進入磁場時加速度恰好為0，則有
  

B2l2v0

R

=mg
設DC邊剛進入磁場前線框勻速運動時速度為v₁，
  E_感=B（2l）v₁
線框勻速運動時有

B2(2l)2v1

R

=mg
得出v1=

1

4

v0
DC邊剛進入磁場瞬間，E′=B（3l）v₁
F₁=

B2(3l)2v1

R

=

B2(3l)2v0

4R

=

9

4

mg
根據(jù)牛頓第二定律得，F(xiàn)₁-mg=ma
解得a=

5

4

g
（2）從線框開始下落到CD邊進入磁場前瞬間，根據(jù)能守恒定律得
   mg（3h）-Q=

1

2

m

v

2 1

機械能損失△E=Q=

47

16

mgh
所以線框機械能損失和重力做功之比△E：W_G=47：48
答：
（1）DC邊剛進入磁場時，線框的加速度為a=

5

4

g．
（2）從線框開始下落到DC邊剛進入磁場的過程中，線框的機械能損失和重力做功之比為47：48．

點評：本題要研究物體多個狀態(tài)，再找它們的關系，關鍵要寫出線框有效的切割長度，即與速度方向垂直的導體等效長度．