14.如圖所示,水平桌面上有一輕彈簧,左端固定在A點,彈簧處于自然狀態(tài)時其右端位于B點.水平桌面右側有一豎直放置的光滑軌道MNP,其形狀為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪去了左上角135°的圓弧,MN為其豎直直徑,P點到桌面的豎直距離也是R.用質量m1=0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點,釋放后彈簧恢復原長時物塊恰停止在B點.用同種材料、質量為m2=0.2kg的物塊將彈簧也緩慢壓縮到C點釋放,物塊過B點后其位移與時間的關系為x=6t-2t2,物塊從桌面右邊緣D點飛離桌面后,由P點沿圓軌道切線落入圓軌道.g=10m/s2,求:
(1)DP間的水平距離;
(2)判斷m2能否沿圓軌道到達M點;
(3)物塊將彈簧緩慢壓縮到C點時彈性勢能EP

分析 (1)物塊離開D點做平拋運動,由P點沿圓軌道切線落入圓軌道,知道了到達P點的速度方向,將P點的速度分解為水平方向和豎直方向,根據(jù)豎直方向上做自由落體運動求出豎直分速度,再根據(jù)角度關系求出水平分速度,即離開D點時的速度vD.求出時間,從而求出DP間的水平距離.
(2)物塊在內(nèi)軌道做圓周運動,在最高點有臨界速度,應用牛頓第二定律求出速度,根據(jù)機械能守恒定律,求出M點的速度,與臨界速度進行比較,判斷其能否沿圓軌道到達M點.
(3)根據(jù)x=6t-2t2,得到物塊的初速度和加速度,由牛頓第二定律求出動摩擦因數(shù),再對彈簧釋放過程研究,運用能量守恒定律求解.

解答 解:(1)物塊離開D點后做平拋運動,在豎直方向有:
  vy2=2gR,解得:vy=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
tan45°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{D}}$,解得:vD=4m/s;
在豎直方向上:R=$\frac{1}{2}$gt2,解得,平拋運動的時間t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}$s=0.4s
則DP間的水平距離:x=vDt=4×0.4m=1.6m.
(3)物塊恰好到達M點時,重力提供向心力,
在M點由牛頓第二定律得:m2g=m2$\frac{{v}_{M}^{2}}{R}$,解得:vM=2$\sqrt{2}$m/s,
設物塊能到達M點,由機械能守恒定律得:
$\frac{1}{2}$m2vM2=$\frac{1}{2}$m2vD2-m2g$•\frac{\sqrt{2}}{2}$R
解得:vM′=$\sqrt{16-8\sqrt{2}}$m/s<vM=2$\sqrt{2}$m/s
所以物塊不能到達M點.
(3)質量為m2=0.2kg的物塊在BD段運動過程,由x=6t-2t2,得初速度v0=6m/s,加速度大小為 a=4m/s2
設物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)為μ,則 μm2g=m2a,得 μ=0.4
質量m1=0.4kg的物塊被彈簧釋放過程,有:
  Ep=$μ{m}_{1}g\overline{BC}$
質量m2=0.2kg的物塊被彈簧釋放過程,有:
   Ep=$μ{m}_{2}g•\overline{BC}$$+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立解得:Ep=7.2J
答:
(1)DP間的水平距離是1.6m;
(2)物塊不能到達M點.
(3)物塊將彈簧緩慢壓縮到C點時彈性勢能EP為7.2J.

點評 該題涉及到多個運動過程,關鍵要理清物塊的運動過程,把握每個過程的物理規(guī)律,運用機械能守恒定律、平拋運動基本公式、圓周運動向心力公式進行解答.

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