Question

6．一組宇航員乘坐太空穿梭機，去修理位于離地球表面h=6.0×10⁵m的圓形軌道上的哈勃太空望遠鏡H．機組人員使穿梭機S進入與H相同的軌道并關閉推動火箭，而望遠鏡則在穿梭機前方數(shù)公里處．如圖甲所示，設G為引力常數(shù)，而M_E為地球質量，（已知：地球半徑為R=6.4×10⁶m）．
（1）在穿梭機內，一質量為70kg的宇航員站在臺秤上時臺秤的示數(shù)？
（2）列出穿梭機在軌道上的速率和周期表達式．（用題目中給出符號表示，不需進行數(shù)值計算．）
（3）①證明穿梭機的總機械能跟-$\frac{1}{r}$成正比，r為它的軌道半徑．[注：若力F與位移r之間有如下的關系：F=K/r²（其中K為常數(shù)），則當r由∞處變?yōu)?，E=$\frac{k}{r}$（設∞處的勢能為0）]．
②若圖乙所示，穿梭機到達哈勃太空望遠鏡H所在軌道，會在Ⅰ軌道上無動力飛行．到達Ⅰ、Ⅱ軌道切點時由Ⅰ軌道變速到Ⅱ軌道．經(jīng)數(shù)學證明①中的機械能表達式同樣適用于橢圓軌道，“穿梭機的總機械能跟-$\frac{1}{a}$成正比，且比例系數(shù)相同，a為它的半長軸”，用上題的結果判穿梭機由Ⅰ軌道H點進入Ⅱ軌道H點時應增加還是減少其原有速率，并作出解釋．

Answer 1

分析 （1）航天飛機（穿梭機）繞地球做圓周運動，處于完全失重狀態(tài)；
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力求解；
（3）①穿梭機做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解速度，得到機械能的表達式；
②根據(jù)機械能表達式判斷從軌道Ⅰ到軌道Ⅱ機械能的變化情況即可．

解答 解：（1）穿梭機內的人處于完全失重狀態(tài)，視重為零；
（2）地球對穿梭機的萬有引力提供向心力：
$\frac{G{M}_{E}m}{（R+h）^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{（R+h）}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
故$v=\sqrt{\frac{G{M}_{E}}{R+h}}$
T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{M}_{E}}}$
（3）①因為萬有引力$F=G\frac{{M}_{E}m}{{r}^{2}}$滿足F=k（$\frac{1}{{r}^{2}}$）（其中k=GMm為常數(shù)）
由“注”可知，當穿梭機與地球之間的距離由∞處變?yōu)閞時，萬有引力對其做功：W=$\frac{k}{r}$=$\frac{GMm}{r}$
又因為萬有引力對穿梭機做多少功，其重力勢能減小多少；
若設∞處的勢能為零，則穿梭機在半徑為r的軌道上時，其重力勢能為：E=-$\frac{GMm}{r}$
則穿梭機此時的總機械能${E}_{總}={E}_{r}+{E}_{k}=-\frac{GMm}{r}+\frac{1}{2}m{v}^{2}$
由于$v=\sqrt{\frac{G{M}_{E}}{R+h}}$，故：${E}_{總}={E}_{r}+{E}_{k}=-\frac{G{M}_{E}m}{2r}$∝$\frac{1}{r}$
②由于E_總∝$\frac{1}{r}$，穿梭機在軌道Ⅰ上的機械能小于其在軌道Ⅱ上的機械能；
由于穿梭機在H點的勢能相同，故在H點，穿梭機由軌道Ⅰ到軌道Ⅱ需要加速，即動能需要增加；
答：（1）在穿梭機內，一質量為70kg的宇航員站在臺秤上時臺秤的示數(shù)為零；
（2）穿梭機在軌道上的速率為$\sqrt{\frac{G{M}_{E}}{R+h}}$，周期表達式為$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{（R+h）}^{3}}{G{M}_{E}}}$；
（3）①證明如上；
②穿梭機由Ⅰ軌道H點進入Ⅱ軌道H點時應增加其原有速率．

點評 本題關鍵是穿梭機的動力學原理和運動學規(guī)律，結合牛頓第二定律列式分析得到速度表達式，再根據(jù)題意得到機械能表達式進行分析即可．