Question

13．盧瑟福在某次α粒子散射實驗中，有一初速度為v₀的α粒子正對著金箔中某一金原子核運動，結(jié)果被反向彈回，已知在點電荷Q的電場中，電荷量為q的帶電粒子在距離Q為r的點的電勢能$W=\frac{{kQ{q_{\;}}}}{r}$，金原子電荷量Q，α粒子質(zhì)量m_α，電荷量q．
（1）若該α粒子距離這個金核r₁時，其速度為v₁，加速度為a₁，則在距離這個金核r₂時，其速度v₂，加速度a₂各為多少？
（2）由題中條件可估算金原子核的直徑，請用給定符號表示金原子核的直徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)庫侖定律與牛頓第二定律，即可求解加速度大�。挥赡芰渴睾愣�律，結(jié)合動能與電勢能的表達式，即可求解速度大��；
（2）根據(jù)能量守恒定律，結(jié)合α粒子減速為零時，兩者間距即為金原子核的直徑，從而即可求解．

解答 解：（1）由題意可知，距離這個金核r₁時，其速度為v₁，加速度為a₁，根據(jù)庫侖定律，及牛頓第二定律，則有：a₁=$\frac{{F}_{1}}{m}$=$\frac{k\frac{Qq}{{r}_{1}^{2}}}{m}$=$\frac{kQq}{m{r}_{1}^{2}}$；
當距離這個金核r₂時，其速度v₂，根據(jù)庫侖定律，及牛頓第二定律，則有：加速度a₂=$\frac{{F}_{2}}{m}$=$\frac{k\frac{Qq}{{r}_{2}^{2}}}{\frac{kQq}{{a}_{1}{r}_{1}^{2}}}$=$\frac{{a}_{1}{r}_{1}^{2}}{{r}_{2}^{2}}$；
（2）根據(jù)能量守恒定律，則有：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{kQq}{{r}_{1}}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}+\frac{kQq}{{r}_{2}}$；
解得：v₂=$\sqrt{{v}_{1}^{2}+\frac{2{a}_{1}{r}_{1}（{r}_{2}-{r}_{1}）}{{r}_{2}}}$；
而$m\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}=\frac{kQq}{{r}_{1}^{2}}$，
因此v₂=$\sqrt{\frac{3{a}_{1}{r}_{1}{r}_{2}-2{a}_{1}{r}_{1}^{2}}{{r}_{2}}}$；
根據(jù)動能轉(zhuǎn)化為電勢能時，兩者間距即為金原子核的半徑，即為：$\frac{1}{2}{m}_{α}{v}_{0}^{2}=\frac{kQq}{r}$；
解得：r=$\frac{2kQq}{{m}_{α}{v}_{0}^{2}}$；
因此金原子核的直徑$\frac{4kQq}{{m}_{α}{v}_{0}^{2}}$；
答：（1）在距離這個金核r₂時，其速度=$\sqrt{\frac{3{a}_{1}{r}_{1}{r}_{2}-2{a}_{1}{r}_{1}^{2}}{{r}_{2}}}$，加速度是$\frac{{a}_{1}{r}_{1}^{2}}{{r}_{2}^{2}}$；
（2）示金原子核的直徑$\frac{4kQq}{{m}_{α}{v}_{0}^{2}}$．

點評 考查庫侖定律與牛頓第二定律的應用，掌握動能與電勢能的表達式內(nèi)容，注意建立估算原子核的半徑模型是解題的關鍵．