Question

（2013?鹽城三模）如圖所示，在矩形區(qū)域CDNM內(nèi)有沿紙面向上的勻強電場，場強的大小E=1.5×10⁵N/C；在矩形區(qū)域MNGF內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小 B=0.2T．已知CD=MN=FG=0.6m，CM=MF=0.20m．在CD邊中點O處有一放射源，沿紙面向電場中各方向均勻地輻射出速率均v0=1.0×106m/s的某種帶正電粒子，粒子質(zhì) m=6.4×10^-27kg，電荷量q=3.2×10^-19C，粒子可以無阻礙地通過邊界MN進入磁場，不計粒子的重力．求：
（1）粒子在磁場中做圓周運動的半徑；
（2）邊界FG上有粒子射出磁場的范圍長度；
（3）粒子在磁場中運動的最長時間．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子先經(jīng)電場加速，再進入勻強磁場中做勻速圓周運動．先由動能定理粒子進入磁場時的速度，由牛頓第二定律求在磁場中做圓周運動的半徑；
（2）粒子垂直于電場方向射入電場中的粒子在該方向的位移最大，通過磁場后打在邊界FG上最左端．垂直于MN射入的粒子，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后軌跡恰好與邊界FG相切，切點就是粒子能射出磁場的最右端．畫出兩種情況下粒子運動的軌跡．
先研究粒子在電場中類平拋運動的過程：運用運動的分解，根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式相結(jié)合求出粒子離開電場時的速度方向與電場方向的夾角，以及垂直于電場方向的位移．根據(jù)幾何知識求邊界FG上有粒子射出磁場的范圍長度；
（3）粒子在磁場中軌跡對應(yīng)的圓心角最大時，運動時間最長．垂直于MN射入的粒子的軌跡與邊界FG相切時，圓心角最大，時間最長，由數(shù)學知識求出圓心角，即可求最長時間．

解答：解：（1）設(shè)帶電粒子進入磁場時的速度為v，由動能定理得：
     qEd=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，則有
    qvB=m

v2

r

解得，r=

mv

qB

=0.2m
（2）如圖所示，粒子垂直于電場方向射入電場中的粒子在該方向的位移最大，通過磁場后打在邊界FG上最左端．設(shè)該粒子離開電場時，速度方向與電場方向的夾角為θ₁，該粒子在電場中運動時
  加速度大小為a=

qE

m

  沿電場方向的位移 y1=

1

2

at2=d
  垂直電場方向的位移  x₁=v₀t=

2 3

15

m
離開電場時  sinθ₁=

v0

v

=

1

2

，θ₁=30°
因為  x₁+r（1-cos30°）＜0.30m
粒子從S點射入磁場，偏轉(zhuǎn)后從邊界FG射出時的位置P即通過范圍的左邊界，且PS⊥MN，垂直MN射入磁場的粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后恰好與邊界FG相切，切點Q是通過范圍的右邊界．
則帶電粒子從邊界FG射出磁場時通過的范圍長度為  l=x₁+r=

2 3

15

m+0.2m≈0.43m
（3）帶電粒子在磁場中運動的周期 T=

2πm

qB

=6.28×10^-7s
帶電粒子在磁場中運動時，其中沿O′QR運動的軌跡最長，運動的時間最長，
∵sinθ₂=

L 2 -r

r

=

0.3-0.2

0.2

=

1

2

，θ₂=30°
∴帶電粒子在磁場中運動的最大圓心角為120°，對應(yīng)的最長時間為
   t_max=

1

3

T=

2πm

3qB

=2.09×10^-7s
答：
（1）粒子在磁場中做圓周運動的半徑是0.2m；
（2）邊界FG上有粒子射出磁場的范圍長度是0.43m；
（3）粒子在磁場中運動的最長時間是2.09×10^-7s．

點評：本題考查動能定理、牛頓第二定律，及類平拋運動處理規(guī)律，讓學生熟練掌握它們的解題思路與方法．注意粒子進入勻強電場時，恰好做類平拋運動時偏轉(zhuǎn)位移最大，磁場中畫出軌跡，確定邊界范圍，由幾何知識求邊界的長度．