Question

17．如圖所示，一輕彈簧直立地面上，其勁度系數(shù)為400N/m，彈簧上端與盒子A連接在一起，盒子內(nèi)裝物體B，B的上下表面恰與盒子接觸，A和B的質(zhì)量m_A=m_B=1.0kg，g=10m/s²，不計(jì)空氣阻力．先將A向上抬高使彈簧伸長(zhǎng)5.0cm后，從靜止釋放，釋放后A和B一起做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．試求：
（1）A的振幅A₀；
（2）B的最大速率v_m；
（3）盒子振動(dòng)到最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)刻A對(duì)B的作用力大小F₁、F₂．

Answer 1

分析 （1）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅A是振動(dòng)物體離開(kāi)平衡位置的最大距離，根據(jù)此定義，可先求出振子在平衡位置時(shí)，彈簧的壓縮量，即可求解A．
（2）振子到達(dá)平衡位置時(shí)B的速率最大，從開(kāi)始到平衡位置，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式，可求出B的最大速率．
（3）先由整體法求出加速度，再隔離B，運(yùn)用牛頓第二定律求解．

解答 解：（1）振子在平衡位置時(shí)，所受合力為零，設(shè)此時(shí)彈簧被壓縮△x．則（m_A+m_B）g=k△x，
代入數(shù)據(jù)解得△x=0.05m=5cm
開(kāi)始釋放時(shí)振子處在最大位移處，故振幅A為：A=5cm+5cm=10cm．
（2）由于開(kāi)始時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量恰等于振子在平衡位置時(shí)彈簧的壓縮量，故彈性勢(shì)能相等，設(shè)振子的最大速率為v，從開(kāi)始到平衡位置處，根據(jù)機(jī)械能守恒定律：
  （m_A+m_B）•A=$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）v_m²
則得 v_m=$\sqrt{2gA}$=$\sqrt{2×10×0.1}$=$\sqrt{2}$m/s，即B的最大速率為$\sqrt{2}$m/s       
（3）在最高點(diǎn)，振子受到的重力和彈力方向相同，根據(jù)牛頓第二定律：
對(duì)AB整體，有a=$\frac{k△x+（{m}_{A}+{m}_{B}）g}{{m}_{A}+{m}_{B}}$=20m/s²；
對(duì)B，由牛頓第二定律得：N₁+m_Bg=m_Ba
則A對(duì)B的作用力方向向下，其作用力大小為：N₁=m_Ba-m_Bg=10N
在最低點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性知，加速度大小為a=20m/s²；方向向上．
對(duì)B，由牛頓第二定律得：N₂-m_Bg=m_Ba
則A對(duì)B的作用力方向向上，其大小N₂為：N₂=m_Ba+m_Bg=30N
答：
（1）物體A的振幅是10cm．
（2）物體B的最大速率是1.4m/s．
（3）在最高點(diǎn)A對(duì)B的作用力方向向下，其大小為10N，在最低點(diǎn)A對(duì)B的作用力方向向上，其大小為30N．

點(diǎn)評(píng) 本題要緊扣振幅的定義，要注意A、B的加速度相同，靈活選擇研究對(duì)象，運(yùn)用胡克定律、牛頓第二定律和機(jī)械能守恒結(jié)合進(jìn)行分析和求解．