Question

5．如圖所示，在xOy豎直平面內(nèi)有一半徑為R與y軸相切于O點(diǎn)的圓，圓上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（R，R），平行于x軸的直線與圓相切于P點(diǎn)．除該圓形區(qū)域外，xOy平面內(nèi)均存在相互垂直的勻強(qiáng)磁場和勻強(qiáng)電場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里．現(xiàn)從P點(diǎn)向y≥R一側(cè)沿xOy的各個不同方向發(fā)射帶正電的微粒，微粒的質(zhì)量為m，電荷量為q，速度大小相同，在電場和磁場區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動，均能平行于沿x軸的正方向進(jìn)入圓形區(qū)域．重力加速度為g，圓形區(qū)域的邊界在電場磁場中．
（1）求勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度；
（2）求帶電微粒在磁場中運(yùn)動的速度；
（3）若某微粒從O點(diǎn)進(jìn)入圓形區(qū)域，從M點(diǎn)（圖中未標(biāo)出）離開圓形區(qū)域，OM與x軸成θ角，求該微粒從P點(diǎn)到M點(diǎn)運(yùn)動的時間．

Answer 1

分析 （1）微粒在電磁場中做勻速圓周運(yùn)動，電場力與重力合力為零，據(jù)此求出電場強(qiáng)度．
（2）由幾何知識求出微粒做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑，然后由牛頓第二定律求出微粒的速度．
（3）求出微粒在磁場中做圓周運(yùn)動的時間，求出微粒在圓形區(qū)域的運(yùn)動時間，然后求出微粒總的運(yùn)動時間．

解答 解：（1）帶電粒子在電磁場中做勻速圓周運(yùn)動，則電場力與重力合力為零，
微粒在豎直方向處于平衡狀態(tài)：qE=mg，解得：E=$\frac{mg}{q}$；
（2）選取任意帶電微粒做圓周運(yùn)動，設(shè)半徑為r，平行x軸正方向進(jìn)入圓形區(qū)域，如圖所示．
由幾何關(guān)系可得：SP、NQ均垂直于x軸，且NQ、NP和SQ、SP分別為兩圓的半徑，
因此：△NPS≌△NQS，故四邊形SPNQ為菱形，可得：r=R，
帶電微粒在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\frac{qBR}{m}$；
（3）微粒電磁場中做勻速圓周運(yùn)動，設(shè)微粒做圓周運(yùn)動時間為t₁，
由于微粒沿x軸進(jìn)入圓形區(qū)域，故兩圓心與兩圓交點(diǎn)的連線組成正方形，
圓周運(yùn)動對應(yīng)的圓心角：θ=$\frac{3π}{2}$．                        
微粒在磁場中的運(yùn)動時間：t₁=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{θ}{2π}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{θm}{qB}$=$\frac{3πm}{2qB}$，
微粒在圓形區(qū)域內(nèi)在重力作用下平拋運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t₂，
OM與x軸成θ角，設(shè)速度方向與x軸方向夾角為α，
由平拋運(yùn)動規(guī)律可知：tanα=2tanθ，tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{g{t}_{2}}{{v}_{0}}$，解得：t₂=$\frac{2qBRtanθ}{mg}$，
微粒從O點(diǎn)進(jìn)入圓形區(qū)域，從M點(diǎn)離開圓形區(qū)域所用的總時間為：t=t₁+t₂=$\frac{3πm}{2qB}$+$\frac{2qBRtanθ}{mg}$；
答：（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度$\frac{mg}{q}$；
（2）帶電微粒在磁場中運(yùn)動的速度為$\frac{qBR}{m}$；
（3）該微粒從P點(diǎn)到M點(diǎn)運(yùn)動的時間為$\frac{3πm}{2qB}$+$\frac{2qBRtanθ}{mg}$．

點(diǎn)評 帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動問題，首先要運(yùn)用動力學(xué)方法分析清楚粒子的運(yùn)動情況，再選擇合適方法處理．對于勻變速曲線運(yùn)動，常常運(yùn)用運(yùn)動的分解法，將其分解為兩個直線的合成，由牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式結(jié)合求解；對于磁場中圓周運(yùn)動，要正確畫出軌跡，由幾何知識求解半徑．