Question

5．如圖所示，在xOy豎直平面內有一半徑為R與y軸相切于O點的圓，圓上一點P的坐標為（R，R），平行于x軸的直線與圓相切于P點．除該圓形區(qū)域外，xOy平面內均存在相互垂直的勻強磁場和勻強電場，磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里．現(xiàn)從P點向y≥R一側沿xOy的各個不同方向發(fā)射帶正電的微粒，微粒的質量為m，電荷量為q，速度大小相同，在電場和磁場區(qū)域做勻速圓周運動，均能平行于沿x軸的正方向進入圓形區(qū)域．重力加速度為g，圓形區(qū)域的邊界在電場磁場中．
（1）求勻強電場的電場強度；
（2）求帶電微粒在磁場中運動的速度；
（3）若某微粒從O點進入圓形區(qū)域，從M點（圖中未標出）離開圓形區(qū)域，OM與x軸成θ角，求該微粒從P點到M點運動的時間．

Answer 1

分析 （1）微粒在電磁場中做勻速圓周運動，電場力與重力合力為零，據(jù)此求出電場強度．
（2）由幾何知識求出微粒做勻速圓周運動的軌道半徑，然后由牛頓第二定律求出微粒的速度．
（3）求出微粒在磁場中做圓周運動的時間，求出微粒在圓形區(qū)域的運動時間，然后求出微�？偟倪\動時間．

解答 解：（1）帶電粒子在電磁場中做勻速圓周運動，則電場力與重力合力為零，
微粒在豎直方向處于平衡狀態(tài)：qE=mg，解得：E=$\frac{mg}{q}$；
（2）選取任意帶電微粒做圓周運動，設半徑為r，平行x軸正方向進入圓形區(qū)域，如圖所示．
由幾何關系可得：SP、NQ均垂直于x軸，且NQ、NP和SQ、SP分別為兩圓的半徑，
因此：△NPS≌△NQS，故四邊形SPNQ為菱形，可得：r=R，
帶電微粒在磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\frac{qBR}{m}$；
（3）微粒電磁場中做勻速圓周運動，設微粒做圓周運動時間為t₁，
由于微粒沿x軸進入圓形區(qū)域，故兩圓心與兩圓交點的連線組成正方形，
圓周運動對應的圓心角：θ=$\frac{3π}{2}$．                        
微粒在磁場中的運動時間：t₁=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{θ}{2π}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{θm}{qB}$=$\frac{3πm}{2qB}$，
微粒在圓形區(qū)域內在重力作用下平拋運動，設運動時間為t₂，
OM與x軸成θ角，設速度方向與x軸方向夾角為α，
由平拋運動規(guī)律可知：tanα=2tanθ，tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{g{t}_{2}}{{v}_{0}}$，解得：t₂=$\frac{2qBRtanθ}{mg}$，
微粒從O點進入圓形區(qū)域，從M點離開圓形區(qū)域所用的總時間為：t=t₁+t₂=$\frac{3πm}{2qB}$+$\frac{2qBRtanθ}{mg}$；
答：（1）勻強電場的電場強度$\frac{mg}{q}$；
（2）帶電微粒在磁場中運動的速度為$\frac{qBR}{m}$；
（3）該微粒從P點到M點運動的時間為$\frac{3πm}{2qB}$+$\frac{2qBRtanθ}{mg}$．

點評 帶電粒子在復合場中的運動問題，首先要運用動力學方法分析清楚粒子的運動情況，再選擇合適方法處理．對于勻變速曲線運動，常常運用運動的分解法，將其分解為兩個直線的合成，由牛頓第二定律和運動學公式結合求解；對于磁場中圓周運動，要正確畫出軌跡，由幾何知識求解半徑．