Question

4．如圖a所示，水平直線MN下方有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，現(xiàn)將一重力不計(jì)、比荷$\frac{q}{m}$=10⁶C/kg的正電荷置于電場(chǎng)中的O點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)過(guò)$\frac{π}{15}$×10^-5s后，電荷以v₀=1.5×l0⁴m/s的速度通過(guò)MN進(jìn)入其上方的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)與紙面垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B按圖b所示規(guī)律周期性變化（圖b中磁場(chǎng)以垂直紙面向外為正，以電荷第一次通過(guò)MN時(shí)為t=0時(shí)刻）．求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E．
（2）帶電粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，粒子在其中的運(yùn)動(dòng)半徑和運(yùn)動(dòng)時(shí)間各為多少？
（3）圖b中t=$\frac{4π}{5}$×10^-5s時(shí)刻電荷與O點(diǎn)的水平距離．
（4）如果在O點(diǎn)右方d=67.5cm處有一垂直于MN的足夠大的擋板，求電荷從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到擋板所需的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）電荷在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律結(jié)合可求出電場(chǎng)強(qiáng)度E．
（2）（3）電荷進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分別求出各個(gè)階段電荷在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑和周期，畫(huà)出軌跡，由幾何關(guān)系求出t=$\frac{4π}{5}$×10^-5s時(shí)刻電荷與O點(diǎn)的水平距離．
（4）電荷在周期性變化的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，根據(jù)周期性分析電荷到達(dá)檔板前運(yùn)動(dòng)的完整周期數(shù)，即可求出荷沿ON運(yùn)動(dòng)的距離．根據(jù)電荷擋板前的運(yùn)動(dòng)軌跡，求出其運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即得總時(shí)間．

解答 解：（1）電荷在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)其在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，有：
v₀=at₁
Eq=ma
解得：
E=$\frac{m{v}_{0}}{q{t}_{1}}$=7.2×10³N/C
（2）粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，磁場(chǎng)垂直紙面向外時(shí)，電荷運(yùn)動(dòng)的半徑：
r₁=$\frac{m{v}_{0}}{{B}_{1}q}$=5cm
周期：
T₁=$\frac{2πm}{{B}_{1}q}$=$\frac{2π}{3}$×10^-5s
運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{{T}_{1}}{2}$=$\frac{π}{3}$×10^-5s
（3）當(dāng)磁場(chǎng)垂直紙面向里時(shí)，電荷運(yùn)動(dòng)的半徑：
r₂=$\frac{m{v}_{0}}{{B}_{2}q}$=3cm
周期：
T₂=$\frac{2πm}{{B}_{2}q}$=$\frac{2π}{5}$×10^-5s
故電荷從t=0時(shí)刻開(kāi)始做周期性運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

t=$\frac{4π}{5}$×10^-5s時(shí)刻電荷與O點(diǎn)的水平距離：△d=2（r₁-r₂）=4cm
（4）電荷從第一次通過(guò)MN開(kāi)始，其運(yùn)動(dòng)的周期為：T=$\frac{4π}{5}$×10^-5s
根據(jù)電荷的運(yùn)動(dòng)情況可知，電荷到達(dá)檔板前運(yùn)動(dòng)的完整周期數(shù)為15個(gè)，有：
電荷沿ON運(yùn)動(dòng)的距離：s=15△d=60cm
故最后8cm的距離如圖所示，有：r₁+r₁cosα=d-s
解得：cosα=0.6 則 α=53°
故電荷運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t_總=t₁+15T+$\frac{1}{2}$T₁-$\frac{53°}{360°}$T₁=3.86×10^-4s
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E為7.2×10³N/C．
（2）帶電粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，粒子在其中的運(yùn)動(dòng)半徑為5cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{π}{3}$×10^-5s．
（3）圖b中t=$\frac{4π}{5}$×10^-5s時(shí)刻電荷與O點(diǎn)的水平距離為4cm．
（4）電荷從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到擋板所需的時(shí)間為3.86×10^-4s．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，電荷在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合研究是最常用的方法，也可以由動(dòng)量定理處理．電荷在周期性磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，要抓住周期性即重復(fù)性進(jìn)行分析，根據(jù)軌跡求解時(shí)間．