Question

15．2016年10月17日，“神舟十一號(hào)”載人飛船成功發(fā)射，入軌后2天內(nèi)與“天宮二號(hào)”實(shí)現(xiàn)自動(dòng)交會(huì)對(duì)接，形成組合體，航天員進(jìn)入“天宮二號(hào)”，假設(shè)二者勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道如圖所示，A代表“天空二號(hào)”，B代表“神舟十一號(hào)”，“天宮二號(hào)”和“神舟十一號(hào)”離地高度分別為h₁、h₂，運(yùn)行周期分別為T₁、T₂，引力常量為G，對(duì)以下說法正確的是（　�。�

• A． 利用以上數(shù)據(jù)可以計(jì)算出地球密度
• B． “神舟十一號(hào)”受到的地球引力大于“天宮二號(hào)”受到地球引力
• C． “神舟十一號(hào)”運(yùn)行速度大于“天宮二號(hào)”運(yùn)行速度
• D． 如果宇航員在“天宮二號(hào)”中相對(duì)太空艙無初速度釋放小球，小球?qū)⑾鄬?duì)太空艙凈止

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力，列式得到地球質(zhì)量和半徑的關(guān)系式，再由密度公式即可求解地球密度．
根據(jù)萬有引力定律$F=G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$，不知道“神舟十一號(hào)”與“天宮二號(hào)”的質(zhì)量，受到地球引力不好比較
根據(jù)萬有引力提供向心力，得運(yùn)行速度$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，比較二者運(yùn)行速度；
宇航員在“天宮二號(hào)”太空艙無初速釋放小球，小球由于慣性和天宮二號(hào)具有相同的速度，萬有引力等于需要的向心力，做圓周運(yùn)動(dòng)．

解答 解：A、設(shè)“天宮二號(hào)”質(zhì)量為${m}_{1}^{\;}$，“神舟十一號(hào)”質(zhì)量為${m}_{2}^{\;}$，地球質(zhì)量為M，地球半徑為R
“天宮二號(hào)”繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力，有
$G\frac{M{m}_{1}^{\;}}{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}（R+{h}_{1}^{\;}）$
得$\frac{GM}{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}（R+{h}_{1}^{\;}）$①
“神舟十一號(hào)”繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力，有
$G\frac{M{m}_{2}^{\;}}{（R+{h}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}}={m}_{2}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}（R+{h}_{2}^{\;}）$
得$\frac{GM}{（R+{h}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}（R+{h}_{2}^{\;}）$②
聯(lián)立①②，可解得地球質(zhì)量和地球的半徑，根據(jù)密度公式可計(jì)算出地球的密度，故A正確；
B、因?yàn)椴恢�道“神舟十一�?hào)”與“天宮二號(hào)”的質(zhì)量關(guān)系，所以無法比較“神舟十一號(hào)”受到地球的引力與“天宮二號(hào)”受到地球的引力大小，故B錯(cuò)誤；
C、根據(jù)萬有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，因?yàn)椤吧裰凼�一�?hào)”比“天宮二號(hào)”軌道半徑小，所以“神舟十一號(hào)”運(yùn)行速度比“天宮二號(hào)”運(yùn)行速度大，故C正確；
D、若在“天宮二號(hào)”太空艙相對(duì)太空艙無初速度釋放小球，由于慣性在天宮二號(hào)運(yùn)動(dòng)方向有與其相同的速度，故小球?qū)⑴c天宮二號(hào)一起繞地球圓周運(yùn)動(dòng)，不會(huì)自由落體向地球，小球?qū)⑾鄬?duì)太空艙靜止，故D正確；
故選：ACD

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力．知道運(yùn)行速度與軌道半徑的關(guān)系，注意根據(jù)萬有引力提供向心力只能求解中心天體的質(zhì)量．