Question

3．已知萬有引力常量G，地球半徑R，地球自轉(zhuǎn)的周期T，地球表面的重力加速度g，
求（1）地球的第一宇宙速度為v．   
（2）地球同步衛(wèi)星距地面的高度的h．

Answer 1

分析 第一宇宙速度是衛(wèi)星在近地圓軌道上的環(huán)繞速度，重力等于萬有引力，引力等于向心力，列式求解；
地球的同步衛(wèi)星的萬有引力提供向心力，可以求出地球同步衛(wèi)星的高度．

解答 解：（1）第一宇宙速度等于近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，
對近地衛(wèi)星列牛頓第二定律方程有
 mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得第一宇宙速度   v₁=$\sqrt{gR}$
（2）對地球的同步衛(wèi)星的萬有引力提供向心力，列牛頓第二定律方程
有$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=m（R+h）（$\frac{2π}{T}$）²
式中  GM=gR²
聯(lián)立解得   h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R
答：（1）地球第一宇宙速度v₁的表達式是$\sqrt{gR}$；
（2）若地球自轉(zhuǎn)周期為T，計算地球同步衛(wèi)星距離地面的高度是$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．

點評 解答此題要清楚地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，地球的同步衛(wèi)星的萬有引力提供向心力．