Question

（2011?湖北模擬）如圖所示，在紙面內(nèi)有一邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形DES （虛線(xiàn)），三角形內(nèi)只有方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，三角形外部的足夠大空間只有方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B虛線(xiàn)三角形DES為內(nèi)外磁場(chǎng)的理想邊界．一電量為+q、質(zhì)量為m的帶正電粒子從DE邊中點(diǎn)P以速度V₀垂直DE邊射入三角形外部磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力和一切阻力，試求：
（1）要使粒子能垂直DE返回到P點(diǎn)，從P點(diǎn)射出時(shí)的速度v₀為多大？
（2）滿(mǎn)足（1）問(wèn)的粒子第一次從P點(diǎn)射入外部磁場(chǎng)到再次返回到P點(diǎn)仍射入外部磁場(chǎng)的最短時(shí)間為多少？

Answer 1

分析：（1）從P點(diǎn)射出的粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可求出軌跡半徑R與速度的關(guān)系式．要使粒子能垂直DE返回到P點(diǎn)，應(yīng)滿(mǎn)足：

L

2

=（2n+1）R，（n=0，1，2，3…），聯(lián)立解得，速度v₀應(yīng)滿(mǎn)足的條件
（2）在磁場(chǎng)中粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=

2πm

qB

，與粒子速度無(wú)關(guān)，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)回旋圓弧個(gè)數(shù)越少，時(shí)間越短，當(dāng)n=0時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，當(dāng)R=

L

2

時(shí)時(shí)間最短．即可求出最短時(shí)間．

解答：解：（1）從P點(diǎn)射出的粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子的運(yùn)動(dòng)半徑為R
即　qv₀B=m

v 2 0

R

粒子返回到P點(diǎn)應(yīng)滿(mǎn)足：

L

2

=（2n+1）R，（n=0，1，2，3…）
解以上各式得粒子的速度為v0=

qBL

2(2n+1)m

（n=0，1，2，3…）
（2）在磁場(chǎng)中粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=

2πm

qB

，與粒子速度無(wú)關(guān)，所以粒子做圓周運(yùn)動(dòng)回旋圓弧個(gè)數(shù)越少，時(shí)間越短，當(dāng)n=0時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，
即當(dāng)：R=

L

2

時(shí)時(shí)間最短．
由軌跡圖可知，粒子以三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心做6個(gè)圓弧運(yùn)動(dòng)，
其中三個(gè)

5π

3

和三個(gè)

π

3

的圓弧
故最短時(shí)間為：t=3T=

6πm

qB

答：
（1）要使粒子能垂直DE返回到P點(diǎn)，從P點(diǎn)射出時(shí)的速度v₀為

qBL

2(2n+1)m

（n=0，1，2，3…）．
（2）滿(mǎn)足（1）問(wèn)的粒子第一次從P點(diǎn)射入外部磁場(chǎng)到再次返回到P點(diǎn)仍射入外部磁場(chǎng)的最短時(shí)間為

6πm

qB

．

點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)在于幾何圖象的確定，要抓住三角形內(nèi)外圓半徑關(guān)系，則可得出各自圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角，從而確定粒子運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間．