Question

16．人類發(fā)射的空間探測器進(jìn)入某行星的引力范圍后，繞該行星做勻速圓周運動．已知該行星的半徑為R，探測器運行軌道在其表面上空高h(yuǎn)處，運行周期為T．求該行星的質(zhì)量M和它的平均密度ρ．

Answer 1

分析 空間探測器繞該行星做勻速圓周運動，行星的萬有引力提供向心力，用周期表示出向心力F_n=$\frac{m4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$，然后結(jié)合萬有引力定律即可求出行星的質(zhì)量．行星看做球體，用球體的體積公式V=$\frac{4}{3}$πR³和ρ=$\frac{M}{V}$進(jìn)而求出它的平均密度

解答 解：空間探測器繞該行星做勻速圓周運動，行星的萬有引力提供向心力，由萬有引力定律和牛頓第二定律得：$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=$\frac{m4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$
  解得求該行星的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$
行星的體積V=$\frac{4}{3}$πR³，又∵ρ=$\frac{M}{V}$
聯(lián)立以上三式解得行星的平均密度ρ=$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$
答：該行星的質(zhì)量$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$，它的平均密度$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$

點評 此題一定明確萬有引力提供向心力，會用周期表示向心力，還要知道球體的體積公式及密度公式，同時注意公式間的化簡