Question

3．北京時間2005年4月12日20時0分，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用“長征三號乙”捆綁式運載火箭，成功地將“亞太六號”通信衛(wèi)星（其質(zhì)量用m表示）送入太空．這顆“亞太六號”通信衛(wèi)星在圍繞地球的橢圓軌道上運行如圖所示，離地球表面最近的點A（近地點）高度L₁=209km（209×10³m），離地球表面最遠的點B（遠地點）高度L₂=49991km（49991×10³m）．已知地球質(zhì)量M=6.0×10²⁴kg，引力常量G=$\frac{1}{15}$×10^-9N•m²/kg²，地球半徑R=6400km=6.4×10⁶m．且在地球上空任一高度處h（h為到地球中心的距離），衛(wèi)星具有的引力勢能表達式為-$\frac{GMm}{h}$，求：
（1）此衛(wèi)星在圍繞地球的橢圓軌道上從近地點A運動到遠地點B的時間約為幾天（設(shè)π²=10，保留兩位數(shù)字）；
（2）證明：v_A•（L₁+R）=v_B（L₂+R）．其中v_A和v_B分別是“亞太六號”通信衛(wèi)星在近地點A和遠地點B的速度；L₁+R和L₂+R分別是“亞太六號”通信衛(wèi)星在近地點A和遠地點B到地球球心的距離（提示：根據(jù)橢圓的對稱性可知近地點A和遠地點B所在軌道處的極小的弧形應是半徑相等的圓弧的弧）；
（3）試計算“亞太六號”通信衛(wèi)星的發(fā)射速度v₀的大小是多少km/s（保留兩位數(shù)字）．

Answer 1

分析 （1）衛(wèi)星繞地球做圓周運動的過程中萬有引力提供向心力，然后推廣到橢圓軌道的情況，代入數(shù)據(jù)即可求出；
（2）衛(wèi)星在近地點與遠地點的曲率半徑是相同的，寫出衛(wèi)星在近地點與遠地點的萬有引力提供向心力的表達式，即可證明；
（3）根據(jù)題目提供的公式，寫出衛(wèi)星從A到B的機械能守恒的表達式，結(jié)合：v_A•（L₁+R）=v_B（L₂+R）即可求出．

解答 解：（1）衛(wèi)星圍繞地球的運動過程中，萬有引力提供向心力：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mω²r=m（$\frac{2π}{T}$）²r 
 整理得：$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}=\frac{GM}{4{π}^{2}}$ 
由開普勒定律及上面推證知任一橢圓中上式同樣適用 k=$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}=\frac{GM}{4{π}^{2}}$
由圖可得知半長軸  r=$\frac{209+2×6400+49991}{2}$km=31500km
T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}=\sqrt{\frac{4×10×3.1{5}^{3}×1{0}^{21}}{\frac{1}{15}×1{0}^{-9}×6.0×1{0}^{24}}}≈55907s≈0.64$天
從近地點A運行到遠地點B的時間  t=$\frac{T}{2}$=0.32天
（2）設(shè)近地點A和遠地點B所在軌道處的極小圓弧的半徑為ρ，依題意知萬有引力提供向心力，即
f_A=$\frac{GMm}{（{L}_{1}+R）^{2}}=\frac{m{v}_{A}^{2}}{ρ}$
f_B=$\frac{GMm}{{（{L}_{2}+R）}^{2}}=\frac{m{v}_{B}^{2}}{ρ}$
聯(lián)立解得    v_A•（L₁+R）=v_B（L₂+R） 
（3）據(jù)機械能守恒及上面的證明得：
$\frac{1}{2}$mv_A²-$\frac{GMm}{{L}_{1}+R}$=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{GMm}{{L}_{2}+R}$；   $\frac{1}{2}$mv_A²-$\frac{GMm}{{L}_{1}+R}$=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{GMm}{R}$
又：v_A•（L₁+R）=v_B（L₂+R）
由以上各式聯(lián)立解得  v₀=$\sqrt{\frac{2GM（{L}_{1}+{L}_{2}+R）}{（{L}_{1}+{L}_{2}+2R）R}}$
代入數(shù)據(jù)解得  v₀=10.6km/s
答：（1）此衛(wèi)星在圍繞地球的橢圓軌道上從近地點A運動到遠地點B的時間約為0.64天；
（2）證明略；
（3）“亞太六號”通信衛(wèi)星的發(fā)射速度v₀的大小是10.6km/s．

點評 本題是開普勒定律與牛頓第二定律的綜合應用，對于衛(wèi)星的運動，關(guān)鍵抓住由衛(wèi)星的萬有引力提供向心力．