Question

18．飛船沿半徑為R的圓周繞地球運(yùn)動，其周期為T．如果飛船要返回地面，可在軌道上的某一點(diǎn)A處，將速率降低到適當(dāng)數(shù)值，從而使飛船沿著以地心為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)動，橢圓軌道和地球表面在B點(diǎn)相切，如圖所示，如果地球半徑為R₀，求：
（1）飛船由A點(diǎn)到B點(diǎn)所需的時(shí)間；
（2）飛船在橢圓軌道上運(yùn)動時(shí)，通過A、B兩點(diǎn)時(shí)速率之比．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)開普勒第三定律，結(jié)合橢圓軌道半長軸的大小，求出飛船在橢圓軌道上的周期，從而求出飛船由A點(diǎn)到B點(diǎn)所需的時(shí)間．
（2）根據(jù)開普勒第二定律即可求出．

解答 解：（1）根據(jù)題意得橢圓軌道的半長軸r=$\frac{{R+R}_{0}}{2}$．
根據(jù)開普勒第三定律得，$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{{r}^{3}}{{T′}^{2}}$，
因?yàn)閞=$\frac{{R+R}_{0}}{2}$，解得T′=$\sqrt{{（\frac{{R+R}_{0}}{2R}）}^{3}}$T．
則飛船由A點(diǎn)到B點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間t=$\frac{T′}{2}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（\frac{{R+R}_{0}}{2R}）}^{3}}$T．
（2）飛船位于A點(diǎn)時(shí)，設(shè)角速度為ω_A，飛船在A點(diǎn)的速率：v_A=ω_A•R
飛船在B點(diǎn)的速率：v_B=ω_B•R₀
則經(jīng)過時(shí)間t，飛船與地球球心之間的連線掃過的面積：$S=\frac{1}{2}θ•{R}^{2}=\frac{1}{2}{ω}_{A}•t{R}^{2}$
同理，在B點(diǎn)：$S=\frac{1}{2}β•{R}_{0}^{2}=\frac{1}{2}{ω}_{B}t•{R}_{0}^{2}$
可得：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\frac{\frac{2S}{t{R}^{2}}•R}{\frac{2S}{t{R}_{0}^{2}}•{R}_{0}}$=$\frac{{R}_{0}}{R}$
答：（1）飛船由A點(diǎn)到B點(diǎn)所需的時(shí)間是$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（\frac{{R+R}_{0}}{2R}）}^{3}}$T．
（2）飛船在橢圓軌道上運(yùn)動時(shí)，通過A、B兩點(diǎn)時(shí)速率之比是$\frac{{R}_{0}}{R}$．

點(diǎn)評 由題目的描述，飛船由A點(diǎn)到B點(diǎn)所需的時(shí)間應(yīng)是橢圓軌道的半個(gè)周期．關(guān)鍵掌握開普勒第三定律，并能靈活運(yùn)用．