Question

2．如圖所示豎直放置的光滑圓弧形球面，半徑R較大，在球面中心O正上方高h(yuǎn)處放置一個小球A，當(dāng)A自由下落的同時，另一個小球B從B′處（OB′遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于R）由靜止沿圓弧滾下，為使兩球相撞，h應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 根據(jù)高度求出B球下落的時間表達(dá)式．根據(jù)周期性得出時間與小球A周期的關(guān)系，再求解B球下落的高度h．

解答 解：B做自由落體下落的高度h，時間為t，則有：
h=$\frac{1}{2}$gt²
半徑R很大的光滑弧形小槽，對應(yīng)的圓心角教小，所以A做簡諧運動，其周期為：
T=2π $\sqrt{\frac{R}{g}}$
若兩球能夠相遇則在時間上有：
t=$\frac{n}{2}$T+$\frac{1}{4}$T（n=0，1，2，3，4…）
聯(lián)立得：h=$\frac{（2n+1）^{2}{π}^{2}}{8}$R （n=0，1，2，3，4…）
答：B球下落的高度為$\frac{{（2n+1）}^{2}{π}^{2}}{8}$R（n=0，1，2，3…）．

點評 光滑圓弧形槽所對圓心角小于10°時類似單擺，做簡諧運動，等效擺長等于半徑，具有周期性．