Question

12．已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g．
（1）不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，取R=6400km，g=10m/s²，π=3.14，估算近地衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的周期T；
（2）若地球自轉(zhuǎn)周期為T₀，推導(dǎo)地球同步衛(wèi)星運行軌道離地面高度h的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)重力提供向心力，結(jié)合線速度與周期的關(guān)系，即可求解；
（2）根據(jù)引力提供向心力，結(jié)合黃金代換公式，即可求解．

解答 解：（1）近地衛(wèi)星重力提供向心力：$mg=m\frac{v^2}{R}$
根據(jù)速度與周期的關(guān)系得：$v=\frac{2πR}{T}$
解得：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}=5024$s            
（2）設(shè)同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m′，地球的質(zhì)量為M，萬有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm'}{{{{（R+h）}^2}}}=m'{（\frac{2π}{{{T_0}^{\;}}}）^2}（R+h）$
質(zhì)量為m的物體，在地面附近的萬有引力近似等于重力，有：$G\frac{Mm}{R^2}=mg$
故同步衛(wèi)星的高度 為：$h=\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T_0}^2}}{{4{π^2}}}}}-R$
答：（1）近地衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的周期5024s；
（2）地球同步衛(wèi)星運行軌道離地面高度h的表達(dá)式$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}_{0}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．

點評 考查引力與向心力表達(dá)式，掌握牛頓第二定律的內(nèi)容，理解黃金代換公式的作用，同時注意符號的正確運算．