Question

14．如圖所示，半徑為R的光滑半圓形軌道豎直放置，A點為軌道的最低點，恰與一斜面底端在A點接觸，斜面底邊水平，傾角為θ，一個可看成質(zhì)點的質(zhì)量為m的小球，在A點獲得一初速度，沖上半圓軌遁且恰好經(jīng)過半圓軌道的最高點B點，然后做平拋運動垂直打在斜面上的C點，求：
（1）小球在A點時對圓弧軌道的壓力大小；
（2）BC兩點之間的水平距離x和高度差h．

Answer 1

分析 （1）抓住小球恰好通過最高點，結(jié)合牛頓第二定律求出B點的速度，根據(jù)動能定理求出A點的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出A點的支持力大小，從而得出小球在A點對圓弧軌道的壓力大�。�
（2）抓住小球垂直打在斜面上，結(jié)合平行四邊形定則求出落在斜面上的豎直分速度，根據(jù)速度時間公式求出平拋運動的時間，從而求出平拋運動的水平位移，根據(jù)速度位移公式求出下降的高度．

解答 解：（1）小球恰好通過最高點B，根據(jù)mg=$m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$得，${v}_{B}=\sqrt{gR}$，
根據(jù)動能定理得，$-mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$，
在A點，根據(jù)牛頓第二定律有：${N}_{A}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
聯(lián)立解得N_A=6mg，
根據(jù)牛頓第三定律知，小球在A點對圓弧軌道的壓力為6mg；
（2）小球平拋運動后垂直打在斜面上，根據(jù)平行四邊形定則有：tanθ=$\frac{{v}_{B}}{{v}_{y}}$，
解得落在斜面上的豎直分速度${v}_{y}=\frac{\sqrt{gR}}{tanθ}$，
則BC間的水平距離x=${v}_{B}t={v}_{B}\frac{{v}_{y}}{g}$=$\sqrt{gR}×\frac{\sqrt{gR}}{gtanθ}=\frac{R}{tanθ}$，
高度差h=$\frac{{{v}_{y}}^{2}}{2g}=\frac{R}{2ta{n}^{2}θ}$．
答：（1）小球在A點時對圓弧軌道的壓力大小為6mg；
（2）BC兩點之間的水平距離x為$\frac{R}{tanθ}$，高度差h為$\frac{R}{2ta{n}^{2}θ}$．

點評 本題考查了動能定理和圓周運動、平拋運動的綜合運用，知道圓周運動向心力的來源以及平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．