Question

20．如圖所示，真空中存在電場強(qiáng)度E=1.5×10³V/m、方向豎直向上的勻強(qiáng)電場．在電場中固定有豎直面內(nèi)的光滑絕緣軌道ABC，其中AB段水平，BC段是半徑R=0.5m的半圓，直徑BC豎直．有兩個大小相同的金屬小球1和2（均可視為質(zhì)點(diǎn)），小球2的質(zhì)量m₂=3×10^-2kg、電量q=+2×10^-4C，靜止于B點(diǎn)；小球1的質(zhì)量m₁=2×10^-2kg、不帶電，在軌道上以初速度v₀=$\frac{5}{2}\sqrt{5}$m/s向右運(yùn)動，與小球2發(fā)生彈性正碰，碰撞時間極短，取g=10m/s²，求
（1）碰撞后瞬間小球2的速度v₂的大�。�
（2）小球2經(jīng)過C點(diǎn)時，軌道對它的壓力F_N的大小以及它第一次落到軌道AB上的位置距B點(diǎn)的距離x；
（3）若只改變場強(qiáng)E的大小，為了保證小球2能沿軌道運(yùn)動并通過C點(diǎn)，試確定場強(qiáng)E的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）小球1、2發(fā)生彈性正碰，動量守恒，機(jī)械能守恒，結(jié)合動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律求出碰撞后瞬間小球2的速度．
（2）根據(jù)動能定理求出小球2通過C點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出軌道對它的壓力大小，小球2離開C點(diǎn)后做類平拋運(yùn)動，結(jié)合牛頓第二定律求出加速度，求出豎直方向上的運(yùn)動時間，通過等時性求出水平方向上的位移．
（3）為了保證小球2能沿軌道運(yùn)動并通過C點(diǎn)，通過C點(diǎn)時壓力大于等于零，以及抓住電場力小于重力，結(jié)合動能定理求出電場強(qiáng)度的范圍．

解答 解（1）設(shè)兩小球碰撞后的速度速度分別為v₁、v₂，規(guī)定向右為正方向，則
m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂，
$\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}$，
解得：${v}_{2}=\frac{2{m}_{1}{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$=$\frac{2×2×1{0}^{-2}×\frac{5\sqrt{5}}{2}}{2×1{0}^{-2}+3×1{0}^{-2}}=2\sqrt{5}m/s$  
（2）設(shè)小球2經(jīng)過C點(diǎn)時速度為v₂′，由動能定理，有：
$（\frac{q}{2}E-{m}_{2}g）•2R=\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}{′}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：${v}_{2}′=\sqrt{10}$m/s．
又 ${F}_{N}+{m}_{2}g-\frac{q}{2}E={m}_{2}\frac{{v}_{2}{′}^{2}}{R}$ 
代入數(shù)據(jù)得：F_N=0.45N，
小球2離開C點(diǎn)后做類平拋運(yùn)動，加速度為：$a=\frac{{m}_{2}g-\frac{1}{2}qE}{{m}_{2}}=\frac{1}{2}g=5m/{s}^{2}$，
根據(jù)$2R=\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{4R}{a}}$．
得：$x={v}_{2}′t=\sqrt{10}\sqrt{\frac{4×0.5}{5}}m=2m$
（3）在上述（2）中，令F_N≥0，即有：
${m}_{2}\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}-5{m}_{2}g+\frac{5}{2}qE≥0$，
$E≥\frac{2{m}_{2}（g-\frac{{{v}_{2}}^{2}}{5R}）}{q}$=$\frac{2×3×1{0}^{-2}×（10-\frac{20}{5×0.5}）}{2×1{0}^{-4}}=6×1{0}^{2}V/m$，
又由題設(shè)有qE≤m₂g，解得：
$E≤\frac{{m}_{2}g}{q}=\frac{3×1{0}^{-2}×10}{2×1{0}^{-4}}=1.5×1{0}^{3}V/m$．
故滿足題目要求的場強(qiáng)E大小的取值范圍是：
0.6×10³V/m≤E≤1.5×10³V/m．
答：（1）碰撞后瞬間小球2的速度v₂的大小為$2\sqrt{5}$m/s；
（2）小球2經(jīng)過C點(diǎn)時，軌道對它的壓力F_N的大小為0.45N，第一次落到軌道AB上的位置距B點(diǎn)的距離為2m．
（3）場強(qiáng)E的取值范圍為0.6×10³V/m≤E≤1.5×10³V/m．

點(diǎn)評 本題考查了動量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、動能定理、牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生的能力要求較高，在處理小球圓周運(yùn)動和類平拋運(yùn)動時，不能將電場力忽略．