Question

3．如圖所示，在豎直平面內(nèi)的直角坐標(biāo)系中，x軸上方有一圓形的有界勻強(qiáng)磁場（圖中未畫），磁場方向垂直于紙面向內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.1T，x軸下方有一方向斜向右上與y軸正方向夾角α=37°的勻強(qiáng)電場．在x軸上放一擋板，長2.4m，板的左端在坐標(biāo)原點(diǎn)O處，有一帶正電粒子從y軸上的P點(diǎn)（坐標(biāo)0，6.8）以大小v=4m/s，方向與y軸負(fù)方向成θ=53°角的速度射入第二象限，經(jīng)過圓形磁場偏轉(zhuǎn)后從x軸上的A點(diǎn)（坐標(biāo)-1.6，0）與x軸正方向夾α=37°角射出并進(jìn)入電場運(yùn)動(dòng)．已知粒子的比荷$\frac{q}{m}$=20C/kg，不計(jì)粒子的重力（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）粒子在圓形磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌跡半徑為多少？
（2）圓形磁場區(qū)域的最小面積為多少？
（3）要讓帶電粒子射出電場時(shí)能打在擋板上，求電場強(qiáng)度E的大小滿足的條件及從P點(diǎn)射出到打在擋板上對應(yīng)的最長時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得半徑；
（2）由幾何關(guān)系明確磁場圓的最小半徑；則可求得最小面積；
（3）根據(jù)題意明確粒子的運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)對稱性可求得粒子轉(zhuǎn)動(dòng)情況，分別求得各過程中的時(shí)間，則可求得總時(shí)間．

解答 解：（1）由洛侖茲力充當(dāng)向心力可知：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
代入數(shù)據(jù)解得：r=2m；
（2）由幾何關(guān)系可得：圓形磁場半徑最小值R滿足：
R=rsin53°=2×0.8=1.6m；
則對應(yīng)的最小面積為：
s=πR²=π×（1.6）²=2.56π（m²）
（3）粒子進(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)它從A點(diǎn)射到X軸時(shí)的位移為x，則有：
xcos37°=vt；
xsin37°=$\frac{1}{2}$$\frac{Eq}{m}{t}^{2}$
聯(lián)立解得：E=$\frac{15m{v}^{2}}{8qx}$=$\frac{3x}{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：$\frac{3}{8}$≤E≤$\frac{15}{16}$
由圖的對稱性可知：
op+OAtan37°=2R+2lcos57°
代入數(shù)據(jù)解得：l=4m；
打在檔板右端對應(yīng)的時(shí)間最長；
t₁=$\frac{l}{v}$=$\frac{4}{4}$=1s；
t₂=$\frac{53}{180}T$=$\frac{53πm}{90qB}$=$\frac{53π}{180}$（s）
t₃=（$\frac{l-\frac{OA}{cos37°}}{v}$）=0.5s
t₄=$\frac{4cos37°}{v}$=0.8s；
t=1+0.5+0.8+$\frac{53π}{180}$=2.3+$\frac{53π}{180}$（s）
答：（1）粒子在圓形磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌跡半徑為為2m；
（2）圓形磁場區(qū)域的最小面積為2.56π（m²）；
（3）要讓帶電粒子射出電場時(shí)能打在擋板上，電場強(qiáng)度E的大小滿足的條件為$\frac{3}{8}$≤E≤$\frac{15}{16}$；從P點(diǎn)射出到打在擋板上對應(yīng)的最長時(shí)間為2.3+$\frac{53π}{180}$（s）．

點(diǎn)評 本題是粒子在混合場中運(yùn)動(dòng)，根據(jù)粒子在場中的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，結(jié)合幾何關(guān)系可列式求解，難度適中