Question

4．“伽利略”木星探測器，從1989年10月進入太空起，歷經(jīng)6年，行程37億千米，終于到達木星周圍．已知探測器在半徑為r的軌道上繞木星運行的周期為T，木星的半徑為R，萬有引力常量為G，求：
（1）探測器的運行速率v
（2）木星的質(zhì)量M．
（3）木星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）由半徑與周期、線速度的關(guān)系即可求出線速度；
（2）由萬有引力定律即可求出木星的質(zhì)量；
（3）由萬有引力提供向心力即可求出第一宇宙速度．

解答 解：（1）由半徑與周期、線速度的關(guān)系可得探測器的線速度：v=$\frac{2πr}{T}$，
（2）探測器在圓形軌道上運行時，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=$\frac{m•4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
所以：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
（3）設木星的第一宇宙速度為：v₀，由萬有引力提供向心力得：
G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
解得：v₀=$\sqrt{\frac{r}{R}}$v=$\frac{2πr}{T}•\sqrt{\frac{r}{R}}$
答：（1）探測器的運行速率是$\frac{2πr}{T}$；
（2）木星的質(zhì)量M是$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（3）木星的第一宇宙速度是$\frac{2πr}{T}•\sqrt{\frac{r}{R}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力，并能靈活運用．