Question

12．在人類認識宇宙的過程中，有的科學(xué)家提出測量地球的質(zhì)量，現(xiàn)通過測量得知地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，萬有引力常量為G則：
（1）地球的質(zhì)量M
（2）地球上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度V
（3）若一衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，且衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)周期為T，則它離地面的高度h．

Answer 1

分析 1、設(shè)有一質(zhì)量為m的物體在地球表面繞地球做勻速圓周運動，根據(jù)重力提供向心力即可求解地球質(zhì)量．
2、根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力解速度
3、對h高空的衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力求解

解答 解：（1）在地球表面，重力等于萬有引力：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
所以：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
（2）根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力知：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{{V}^{2}}{R}$
解得：V=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{gR}$
（3）根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力知：$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）（\frac{2π}{T}）^{2}$
得：h=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
答：（1）地球的質(zhì)量$\frac{g{R}^{2}}{G}$（2）地球上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度$\sqrt{gR}$（3）若一衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，且衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)周期為T，則它離地面的高度$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．

點評 本題主要考查了圓周運動向心力公式的直接應(yīng)用，注意只能計算出中心天體的質(zhì)量．