Question

15．一勁度系數(shù)k=500N/m的輕質(zhì)彈簧，豎直固定在水平地面上，如圖所示．在彈簧正上方1m處，用細(xì)線懸掛一質(zhì)量m=2kg的金屬球，當(dāng)細(xì)線被燒斷后，金屬球落到彈簧上壓縮彈簧，但沒(méi)有超過(guò)彈性限度．已知彈簧的彈性勢(shì)能與勁度系數(shù)、形變量的關(guān)系式為Ep=$\frac{1}{2}$kx²，不計(jì)空氣阻力，忽略金屬球與彈簧接觸時(shí)產(chǎn)生的能量損失，金屬球可視為質(zhì)點(diǎn)，g=10m/s²．試求：（結(jié)果可保留根號(hào)）
（1）金屬球下落過(guò)程中的最大速度．
（2）金屬球下落過(guò)程中的最大位移．

Answer 1

分析 （1）金屬球的合力為零時(shí)速度最大，由平衡條件、胡克定律求出彈簧的壓縮量，再由機(jī)械能守恒求最大速度．
（2）對(duì)整個(gè)過(guò)程，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式，可求得金屬球下落過(guò)程中的最大位移．

解答 解：（1）金屬球的合力為零時(shí)速度最大，此時(shí)有：mg=kx
則得：x=$\frac{mg}{k}$=$\frac{20}{500}$m=0.04m
設(shè)金屬球下落過(guò)程中的最大速度為v_m．根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
mg（h+x）=$\frac{1}{2}$kx²+$\frac{1}{2}$mv_m²；
代入數(shù)據(jù)解得：v_m=2$\sqrt{5.1}$m/s
（2）設(shè)金屬球下落過(guò)程中的最大位移為S．根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
mgS=$\frac{1}{2}$k（S-h）²；
解得：S=$\frac{52+\sqrt{2694}}{25}$m
答：（1）金屬球下落過(guò)程中的最大速度是2$\sqrt{5.1}$m/s．
（2）金屬球下落過(guò)程中的最大位移是$\frac{52+\sqrt{2694}}{25}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)，找出平衡點(diǎn)后根據(jù)胡克定律和機(jī)械能守恒定律列式求解即可．