Question

6．一個質(zhì)量m=1kg物體，以初速度v₀=4m/s從斜面上A點沿斜面向上運動，物體沿斜面向上運動的最大距離L=1.2m，經(jīng)過一段時間后物體再返回到A點，此時物體速率v_t=2m/s，且返回到A點之前物體已做勻速運動．設(shè)斜面的傾角α=37°，物體與斜面間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，物體在運動過程中受到的空氣阻力大小與其速率成正比．試求：
（1）物體在運動過程中受到的空氣阻力與速率的比例系數(shù)k；
（2）物體剛沿斜面向上運動時的瞬間加速度大�。�
（3）物體從開始沿斜面向上運動到返回出發(fā)點所用的時間．

Answer 1

分析 （1）勻速運動過程中，根據(jù)共點力的平衡條件列方程求解比例系數(shù)k；
（2）根據(jù)牛頓第二定律列方程求解加速度大��；
（3）物體沿斜面向上運動時根據(jù)牛頓第二定律求解極短時間內(nèi)的加速度，對物體沿斜面向上運動的全過程累加求和得到時間和速度變化的表達(dá)式，求解上滑過程中的時間，由此方法在求解下滑過程中的時間，即可求解總時間．

解答 解：（1）設(shè)空氣阻力為f，則：f=kv；
勻速運動過程中，根據(jù)共點力的平衡條件可得：mgsinα=kv₁+μmgcosα，
解得：k=1kg/s；
（2）設(shè)剛拋出時物體的加速度為a₀，
根據(jù)牛頓第二定律可得：mgsinα+μmgcosα+kv₀=ma₀，
 解得：a₀=gsinα+μgcosα+$\frac{k{v}_{0}}{m}$=（10×0.6+0.5×10×0.8+$\frac{1×4}{1}$）m/s²=14m/s²；
（3）設(shè)物體沿斜面向上運動時的加速度為a，以沿斜面向上為正方向
則根據(jù)牛頓第二定律可得：a=-gsinα-μgcosα-$\frac{kv}{m}$
取對物體取極短△t時間有：a=-gsinα-μgcosα-$\frac{kv}{m}$=$\frac{△v}{△t}$，
即：（-gsinα-μgcosα）△t-$\frac{kv}{m}$△t=△v
解得：-（gsinα+μgcosα）△t-$\frac{k}{m}$△x=△v
對物體沿斜面向上運動的全過程累加求和有：
-（gsinα+μgcosα）（△t₁+△t₂+△t₃+…）-$\frac{k}{m}$（△x₁+△x₂+△x₃+…）=△v₁+△v₂+△v₃+…
即：-（gsinα+μgcosα）t₁-$\frac{k}{m}L$=0-v₀；
得：t₁=0.28s；
同理對物體沿斜面向下運動的全過程有：（gsinα-μgcosα）t₂-$\frac{k}{m}L$=v_t-0；
解得：t₂=1.6s；
所以總時間：t=t₁+t₂=0.28s+1.6s=1.88s．
答：（1）物體在運動過程中受到的空氣阻力與速率的比例系數(shù)k為1kg/s；
（2）物體剛沿斜面向上運動時的瞬間加速度大小14m/s²；
（3）物體從開始沿斜面向上運動到返回出發(fā)點所用的時間1.88s．

點評 對于牛頓第二定律的綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是弄清楚物體的運動過程和受力情況，利用牛頓第二定律或運動學(xué)的計算公式求解加速度，再根據(jù)題目要求進(jìn)行解答；知道加速度是聯(lián)系靜力學(xué)和運動學(xué)的橋梁．