Question

8．如圖甲所示，A₁是邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的單匝正方形金屬框，框內(nèi)有垂直于紙面向里的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小隨時(shí)間的關(guān)系如圖乙．M、N為平行板電容器的兩個(gè)極板，其長(zhǎng)度和間距都為L(zhǎng)，在兩板右端的虛線右側(cè)有范圍足夠大、方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₂=$\frac{3}{4}$B₀；在兩板左邊緣中央處有一粒子發(fā)射器A₂，從t=0時(shí)刻開始連續(xù)不斷地水平向右發(fā)射比荷為$\frac{q}{m}$=$\frac{1}{{B}_{0}{t}_{0}}$、初速度為v₀=$\frac{L}{2{t}_{0}}$帶正電的粒子．已知電路中金屬框電阻為R₀，接入電路的滑動(dòng)變阻器阻值R=R₀，其余電阻不計(jì)．（不考慮帶電粒子的重力和空氣阻力，不考慮電容器充放電所用的時(shí)間）．則：

（1）在0～t₀內(nèi)，極板M、N哪一個(gè)板電勢(shì)高，兩板間的電壓U為多大？
（2）通過計(jì)算判斷，在t=0時(shí)刻發(fā)射的帶電粒子，能否經(jīng)電、磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后回到兩平行板間？
（3）何時(shí)發(fā)射的且不與極板碰撞的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，其 最長(zhǎng)時(shí)間為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)楞次定律來判定感應(yīng)電流方向，從而確定電勢(shì)的高低，并由法拉第電磁感應(yīng)定律，即可求解；
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，結(jié)合牛頓第二定律，及洛倫茲力提供向心力，即可求解；
（3）根據(jù)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角，及周期公式，即可求解．

解答 解：（1）由楞次定律可知0～t₀內(nèi)，N板電勢(shì)高，由法拉第電磁感應(yīng)定律得金屬框產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為：
$E=\frac{△∅}{△t}$=$\frac{△B{L}^{2}}{△t}$                                       
由圖乙知：$\frac{△B}{△t}$=$\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}$                                
由電路的連接特點(diǎn)知電容器的電壓：
$U=\frac{E}{2}$                                            
解得：$U=\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{2{t}_{0}}$                                     
（2）粒子在平行板電容器內(nèi)水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：
$t=\frac{L}{{v}_{0}}=2{t}_{0}$                                          
在豎直方向粒子先勻加速后勻減速其位移為：
  $y=2×\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$                             
又由牛頓第二定律有：
$\frac{qU}{L}=ma$                                        
解得：y=$\frac{L}{2}$                                         
即粒子從M板右端水平進(jìn)入磁場(chǎng)，其速度大小為：
v=v₀=$\frac{L}{2{t}_{0}}$                                            
粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律有：
${B}_{2}qv=m\frac{{v}^{2}}{r}$                                    
粒子離開磁場(chǎng)的位置到M板右端的距離為：
L′=2r                                         
解得：L′=$\frac{4}{3}L＞L$  即粒子不能第二次進(jìn)入兩板間         
（3）由分析知：
在t=2t₀+3nt₀（n=0、1、2…）時(shí)發(fā)射的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)  
該粒子豎直方向的速度為：
v_y=at₀=v₀                                               
即粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與虛線邊界的夾角為$θ=\frac{π}{4}$             
又粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{8}{3}π{t}_{0}$               
最長(zhǎng)時(shí)間為t′=$\frac{2π-2θ}{2π}T$=2πt₀                               
答：（1）在0～t₀內(nèi)，極板M、N哪一個(gè)板電勢(shì)高，兩板間的電壓U為$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{2{t}_{0}}$；
（2）通過計(jì)算判斷，在t=0時(shí)刻發(fā)射的帶電粒子，不能經(jīng)電、磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后回到兩平行板間；
（3）何時(shí)發(fā)射的且不與極板碰撞的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，其最長(zhǎng)時(shí)間為2πt₀．

點(diǎn)評(píng) 考查粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，掌握運(yùn)動(dòng)處理的規(guī)律，理解這兩種處理的方法，注意幾何關(guān)系圓心角求得最長(zhǎng)時(shí)間．