Question

20．如圖所示，一根粗細均勻的長為4L直桿豎直固定放置，其上套有A、B兩個可看做質點的小圓環(huán)A、B，質量分別為m_A=4m，m_B=m，桿上P點上方是光滑的且長度為L；P點下方是粗糙的，桿對兩環(huán)的滑動摩擦力大小均等于環(huán)各自的重力．開始環(huán)A靜止在P處，環(huán)B從桿的頂端由靜止釋放，B 與A發(fā)生碰撞的時間極短，碰后B的速度方向向上，速度大小為碰前的$\frac{3}{5}$．求：
（1）B與A發(fā)生第一次碰撞過程是否有機械能損失．
（2）通過計算說明B與A能否在桿上發(fā)生第二次碰撞．

Answer 1

分析 （1）由機械能守恒定律求出B自由下落L時速度，A，B組成的系統(tǒng)動量守恒列出等式求出AB碰撞后的速度大小，從而判斷發(fā)生第一次碰撞過程是否有機械能損失．
（2）碰撞后A勻速下滑，B做豎直上拋運動，B返回到P點時，速度大小仍然為v_B，此后，B也做勻速運動，由于v_B＞v_A，所以B與A可能會發(fā)生第二次碰撞，對物體進行運動分析，運用運動學公式求解碰撞的位置．

解答 解：（1）設B自由下落L時速度為v₀，由機械能守恒定律
${m}_{B}gL=\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{0}}^{2}$
得：${v}_{0}=\sqrt{2gL}$
設B與A碰撞后瞬間，B的速度大小為v_B，A的速度大小為v_A，A、B組成的系統(tǒng)動量守恒，規(guī)定向下的方向為正．
m_Bv₀=-m_Bv_B+m_Av_A
將${v}_{B}=\frac{3}{5}{v}_{0}$
代入上式解得：${v}_{A}=\frac{2}{5}{v}_{0}$
損失的機械能：$△E=\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{A}}^{2}$=0，則機械能守恒，
（2）碰撞后A勻速下滑，B做豎直上拋運動，B返回到P點時，速度大小仍然為v_B，此后，B也做勻速運動，由于v_B＞v_A，所以B與A可能會發(fā)生第二次碰撞．
設A、B第一次碰撞后經時間t發(fā)生第二次碰撞，B做豎直上拋運動返回到P點經歷的時間為t₁，則：
A的位移：s_A=v_At
B勻速運動的位移：s_B=v_B（t-t₁）
${t}_{1}=\frac{2{v}_{B}}{g}$
由s_A=s_B
解得：$t=\frac{18{v}_{0}}{5g}$
${s}_{A}=\frac{36{{v}_{0}}^{2}}{25g}=\frac{72}{25}L$
因s_A＜3L
所以，A、B能發(fā)生第二次碰撞，碰撞的位置在P點下方$\frac{72}{25}L$．
答：（1）B與A發(fā)生第一次碰撞過程沒有機械能損失．
（2）B與A能在桿上發(fā)生第二次碰撞，碰撞的位置在P點下方$\frac{72}{25}L$．

點評 解決該題關鍵要進行A、B的運動分析，正確找出其位置關系，運用系統(tǒng)動量守恒、機械能守恒定律、運動學公式求解，難度適中．