Question

18．半徑為R的光滑半球形碗，固定于水平桌面上，一根長為L的光滑勻質(zhì)棒，一端在碗內(nèi)，一端在碗外，斜靠在碗緣，求平衡時棒與水平面的夾角θ．

Answer 1

分析 以桿為研究對象進行受力分析，根據(jù)水平方向受力平衡列方程，再根據(jù)力矩的平衡條件列方程，由幾何關系得到碗內(nèi)桿的長度，再列方程求解．

解答 解：以桿為研究對象，進行受力分析如圖所示，

桿在水平方向受力平衡可得：Ncos2θ=Tsinθ①
設桿的中心為O，OB長度為x，以O點為支點，根據(jù)力矩的平衡條件可得：
N$•\frac{L}{2}$•sinθ=T•x ②
根據(jù)幾何關系可得2Rcosθ=$\frac{L}{2}$+x ③
由于cosθ=cos²θ-sin²θ，
整理可得2cos²θ-$\frac{L}{4R}cosθ$-1=0，
解得：cosθ=$\frac{L}{16R}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{{L}^{2}}{16{R}^{2}}+8}$
所以θ=$arccos（\frac{L}{16R}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{{L}^{2}}{16{R}^{2}}+8}）$．
答：平衡時棒與水平面的夾角θ為$arccos（\frac{L}{16R}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{{L}^{2}}{16{R}^{2}}+8}）$．

點評 本題主要是考查了共點力的平衡問題，解答此類問題的一般步驟是：確定研究對象、進行受力分析、利用平行四邊形法則進行力的合成或者是正交分解法進行力的分解，然后在坐標軸上建立平衡方程進行解答．