Question

19．在游樂(lè)節(jié)目中，選手需借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺(tái)上，小明和小陽(yáng)觀看后對(duì)此進(jìn)行了討論．如圖所示，他們將選手簡(jiǎn)化為質(zhì)量m=60kg 的質(zhì)點(diǎn)，選手抓住繩由靜止開(kāi)始擺動(dòng)，此時(shí)繩與豎直方向夾角α=53°，繩的懸掛點(diǎn)O距水面的高度為H=3m，不考慮空氣阻力和繩的質(zhì)量，浮臺(tái)露出水面的高度不計(jì)，水足夠深．取重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）求選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)所受的向心力的大小．
（2）若繩長(zhǎng)l=2m，選手?jǐn)[到最高點(diǎn)時(shí)松手落入水中．設(shè)水對(duì)選手的平均浮力f₁=800N，平均阻力f₂=700N，求選手落入水中的深度d；
（3）若選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)松手，小明認(rèn)為繩越長(zhǎng)，在浮臺(tái)上的落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)；小陽(yáng)卻認(rèn)為繩越短，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)．請(qǐng)通過(guò)推算說(shuō)你的觀點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)過(guò)程中機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律即可求得選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)速度的大小，再根據(jù)向心力公式求解．
（2）若繩長(zhǎng)l=2m，選手?jǐn)[到最高點(diǎn)時(shí)離水面的高度為H-lcos53°，從選手開(kāi)始下落到速度減為零的過(guò)程中，重力做正功，浮力和阻力做負(fù)功，對(duì)全過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理求解選手落入水中的深度d．
（3）選手從最低點(diǎn)開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)．對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)沿水平和豎直兩個(gè)方向進(jìn)行分解，水平方向上是勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向上時(shí)自由落體運(yùn)動(dòng)，分別列出位移式子，聯(lián)立后進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，得出當(dāng)l=1.5m時(shí)，水平方向由最大值．再說(shuō)明自己的觀點(diǎn)．

解答 解：
（1）選手從靜止擺到最低點(diǎn)過(guò)程中機(jī)械能守恒，對(duì)選手運(yùn)用機(jī)械能守恒定律有：
   $mgl（1-cosα）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$ ①
代入數(shù)據(jù)得：v=$\sqrt{2×10×2×（1-0.6）}$m/s=4m/s，
則選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)所受的向心力的大小${F}_{n}=m\frac{{v}^{2}}{l}=60×\frac{16}{2}=1080N$
（2）對(duì)選手開(kāi)始下落到在水中速度為零整個(gè)過(guò)程進(jìn)行分析，重力、浮力和阻力分別做功，
設(shè)進(jìn)入水的深度為d，由動(dòng)能定理有：
  mg（H-lcosα+d）-（F₁+F₂）d=0
代入數(shù)據(jù)解得：d=1.2m
（3）選手從最低點(diǎn)開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
水平方向有：x=vt  ③
豎直方向有：H-l=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$ ④
解得：x=2$\sqrt{l（H-l）（1-cosα）}$
當(dāng)l=H-l，即 l=$\frac{H}{2}$=1.5m時(shí)，x有最大值．
因此，兩人的看法均不正確，當(dāng)繩長(zhǎng)越接近1.5m時(shí)，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)．
答：
（1）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)所受的向心力的大小為1080N；
（2）選手落入水中的深度為1.2m；
（3）兩人的看法均不正確，當(dāng)繩長(zhǎng)越接近1.5m時(shí)，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查到了機(jī)械能守恒，圓周運(yùn)動(dòng)向心力，動(dòng)能定理，平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律及求極值問(wèn)題．解答第二問(wèn)時(shí)，一定注意要求的是選手對(duì)繩子的拉力．解題過(guò)程中是對(duì)選手進(jìn)行受力分析的，故不要忘記應(yīng)用牛頓第三定律．關(guān)于物理當(dāng)中的極值問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)學(xué)上函數(shù)法求解．