Question

17．如圖，與水平面成θ=25°角的傾斜的繃緊傳送帶，AB長(zhǎng)為S=6m，在電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)下，始終以v₀=$\sqrt{3}$m/s順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)；臺(tái)面BC與傳送帶平滑連接于B點(diǎn)，BC長(zhǎng)L=2.2m；半圓形光滑軌道半徑R=1.0m，與水平臺(tái)面相切于C點(diǎn)．一個(gè)質(zhì)量為m=0.1kg的待加工小工件（可以視為質(zhì)點(diǎn)），從A點(diǎn)無(wú)初速釋放，小工件與傳送帶的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.5，小工件與臺(tái)面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.01．（注意：小工件能夠以相同速率在臺(tái)面與傳送帶間的B點(diǎn)相互平穩(wěn)滑動(dòng)；已知sin25°=0.4；cos25°=0.9；重力加速度取g=10m/s²）．求：
（1）小工件從A點(diǎn)第一次運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所用的時(shí)間；
（2）小工件最后停留在何處；
（3）若小工件從A點(diǎn)無(wú)初速釋放，三次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，因傳送工件電動(dòng)機(jī)要多消耗多少的電能．（本小題計(jì)算中，取$\sqrt{53}$=7.3，$\sqrt{3}$=1.7）

Answer 1

分析 （1）小工件在傳送帶上先勻加速運(yùn)動(dòng)，接著小工件在傳送帶上勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解時(shí)間；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理，確定運(yùn)動(dòng)的高度與半徑大小相比，從而得出小工件的運(yùn)動(dòng)情況，再由動(dòng)能定理，結(jié)合摩擦力做功與路程有關(guān)，即可求解；
（3）工件從A運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過(guò)程傳送帶克服摩擦力做的功，結(jié)合動(dòng)能定理，從而求出B點(diǎn)的速度，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，求出時(shí)間，算出位移，最后求出摩擦力做的總功，即可求解．

解答 解：（1）小工件在傳送帶上先勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，則有：
  μ₁mgcosθ-mgsinθ=ma₁
代入數(shù)據(jù)得：a₁=0.5m/s²
勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₁=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$
代入數(shù)據(jù)得 t₁=2$\sqrt{3}$s；
勻加速運(yùn)動(dòng)的位移為：s₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}$
代入數(shù)據(jù)得：s₁=3m；
接著小工件在傳送帶上勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₂=$\frac{s-{s}_{1}}{{v}_{0}}$
代入數(shù)據(jù)得：t₂=$\sqrt{3}$s
所以：t=t₁+t₂=3$\sqrt{3}$≈5.1s
（2）由動(dòng)能定理：-μ₂mgL-mgh=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$；
解得：h=0.132m＜R
所以小工件將不能越過(guò)點(diǎn)P；
小工件將沖上圓軌道再以相同速度大小返回C點(diǎn)，經(jīng)BC減速滑上傳送帶，再返回…，小工件從第一次過(guò)C點(diǎn)到停止，其動(dòng)能消耗在BC段克服摩擦力做功．
設(shè)小工件最多可以進(jìn)入檢驗(yàn)區(qū)N次．
由動(dòng)能定理：-μ₂mgNL=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：N=6$\frac{9}{11}$（次）
所以，小工件最多進(jìn)入檢驗(yàn)區(qū)7次，進(jìn)入加工區(qū)3次．
始終不合格的小工件最后停留在距B點(diǎn)，d=$\frac{9}{11}$L=1.8m 處．
（3）工件從A運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過(guò)程傳送帶克服摩擦力做的功：W₁=μ₁mg（v₀t₁）cosθ+mg（v₀t₂）sinθ
代入數(shù)據(jù)得：W₁=3.9J
經(jīng)第一次加工后，工件返回到B點(diǎn)速度為v_B
則：-μ₂mg•2L=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v_B=$\frac{\sqrt{53}}{5}$m/s
工件以 v_B=$\frac{\sqrt{53}}{5}$m/s下滑進(jìn)入傳送帶，先減速后加速（相同加速度）返回B點(diǎn)，此過(guò)程時(shí)間
 t₄=$\frac{2{v}_{B}}{{a}_{1}}$
解得：t₄=$\frac{4}{5}$$\sqrt{53}$≈5.84s
此過(guò)程傳送帶克服摩擦力做的功：W₂=μ₁mg（v₀t₄）cosθ
代入數(shù)據(jù)得：W₂=4.5J
故三次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，因傳送工件電動(dòng)機(jī)要多消耗的電能等于：E=W₁+W₂=3.9+4.5=8.4J．
答：（1）小工件從A點(diǎn)第一次運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所用的時(shí)間是5.1s；
（2）小工件最后停留在距B點(diǎn)1.8m 處．
（3）三次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，因傳送工件電動(dòng)機(jī)要多消耗的電能為8.4J．

點(diǎn)評(píng) 此題考查牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合應(yīng)用，掌握動(dòng)能定理的應(yīng)用，注意摩擦力做功與路程有關(guān)．同時(shí)搞清小工件的運(yùn)動(dòng)情況，是解題的關(guān)鍵．