Question

15．如圖甲，右端固定的壓縮彈簧，將小球由靜止彈出，小球從軌道末端A豎直飛出，恰好從轉盤的M孔向上穿出，又恰好從N孔落下．己知彈簧彈性勢能E=9J，小球質量m=0.5kg，半徑為R=1m的$\frac{1}{4}$圓軌道與水平軌道平滑連接，整條軌道的中間呈V形（如圖乙），夾角為60°（如圖丙）．圓盤勻速轉動，豎直軸與盤面垂直，孔M、N在同一條直徑上，且緊挨軌道上端A．不計一切摩擦、空氣阻力及小球通過孔的時間，g=10m/s²．求：
（1）小球在通過圓軌道上端A時，V形槽每個面對小球支持力的大��；
（2）圓盤轉動的最小角速度ω．

Answer 1

分析 （1）由機械能守恒定律求出經過M點的速度，再根據牛頓第二定律結合力的合成原則求解V形槽每個面對小球支持力的大��；
（2）由運動學公式，小球離開A又回到A的時間，這段時間內，圓盤轉動（n+$\frac{1}{2}$）T，結合周期和角速度關系求解即可．

解答 解：（1）由機械能守恒定律得：$E=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+mgR$
代入數據解得：v₁=4m/s
由牛頓第二定律得：${F_向}=\frac{mv_1^2}{R}$=8N
根據幾何關系可知，V形槽對小球的兩支持力夾角為120°，
則V形槽每個面對小球支持力的大小F=F_向=8N，
（2）由運動學公式，小球離開A又回到A的時間為：$t=\frac{{2{v_1}}}{g}=0.8s$，
剛好從N空落下，需滿足：$t=\frac{T}{2}$+nT（n=0，1，2…）
且$T=\frac{2π}{ω}$
解得：$ω=\frac{5π}{4}$（2n+1）（n=0，1，2…）．
答：（1）小球在通過圓軌道上端A時，V形槽每個面對小球支持力的大小為8N；
（2）圓盤轉動的最小角速度ω為$\frac{5π}{4}$（2n+1）（n=0，1，2…）．

點評 本題主要考查了機械能守恒定律、牛頓第二定律以及運動學基本公式的直接應用，要求同學們能正確分析物體的運動情況和受力情況，注意圓周運動具有周期性，難度適中．