Question

11．如圖所示，足夠長光滑斜面與水平面的夾角為37°，斜面下端與半徑R=0.50m的半圓形凹槽平滑相接，相接點為A，半圓形凹槽的最低點為B，半圓形凹槽的最高點為C，已知sin37°=0.60，cos37°=0.80，g=10m/s²．
（1）若將質(zhì)量為m=0.10kg的小球從斜面上距離A點為l=2.0m的D點由靜止釋放，則小球到達半圓形凹槽最低點B時，對凹槽的壓力多大？
（2）要使小球經(jīng)過凹槽最高點C時不能脫離凹槽，則小球經(jīng)過C點時速度大小應滿足什么條件？
（3）當小球經(jīng)過C點處的速度大小為多大時，小球與斜面發(fā)生一次彈性碰撞后還能沿原來的運動軌跡返回C點？

Answer 1

分析 （1）小球從D運動到B過程，只有重力做功，機械能守恒，由此求出小球到達B點時的速度，再由牛頓運動定律求小球到達半圓形凹槽最低點B時對凹槽的壓力．
（2）要使小球經(jīng)過凹槽最高點C時不能脫離凹槽，經(jīng)過C點時向心力不小于重力的徑向分力．由牛頓第二定律求解．
（3）小球與斜面發(fā)生彈性碰撞后還能沿原來的運動軌跡返回C點，小球的速度必須與斜面垂直．由斜拋運動的規(guī)律和速度條件結合求解．

解答 解：（1）小球從D運動到B過程，由機械能守恒，得：
mg[lsin37°+R（1-cos37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在B點，有 N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
聯(lián)立得：N=6.2N
由牛頓第三定律得：小球到達半圓形凹槽最低點B時對凹槽的壓力 N′=N=6.2N
（2）要使小球經(jīng)過凹槽最高點C時不能脫離凹槽，必有滿足 mgcos37°≤m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
即得 v_C≥$\sqrt{gRcos37°}$=$\sqrt{10×0.5×0.8}$=2m/s
（3）小球與斜面發(fā)生彈性碰撞后還能沿原來的運動軌跡返回C點，小球的速度必須與斜面垂直．
建立如圖的坐標系．
則x軸方向的分加速度為 a_x=-gsin37°，
y軸方向的分加速度為 a_y=gcos37°
且有 v_C+a_xt=0，2R=$\frac{1}{2}{a}_{y}{t}^{2}$
聯(lián)立解得 v_C=12m/s
答：
（1）小球到達半圓形凹槽最低點B時，對凹槽的壓力為6.2N．
（2）小球經(jīng)過C點時速度大小應滿足的條件是：v_C≥2m/s．
（3）當小球經(jīng)過C點處的速度大小為12m/s時，小球與斜面發(fā)生一次彈性碰撞后還能沿原來的運動軌跡返回C點．

點評 解決本題的關鍵理清物塊的運動過程，把握隱含的臨界條件，明確小球到達C點的臨界條件是軌道對小球沒有作用力，由重力的徑向分力提供向心力．小球只有垂直撞上斜面，才能沿原路返回．對斜拋要靈活選擇坐標系，使得以簡化．