Question

16．如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的固定半徑為R的光滑圓環(huán)軌道，圓環(huán)軌道與水平面相切于M點，A、B為圓弧軌道上兩點，O是圓環(huán)軌道的圓心，C是圓環(huán)上與M靠得很近的一點（CM遠(yuǎn)小于R）．已知在同一時刻：a、b兩球分別由A、B兩點從靜止開始沿光滑傾斜直軌道運(yùn)動到M點；c球從C點靜止出發(fā)沿圓環(huán)運(yùn)動到M點．則a、b、c三個小球到達(dá)M點的時間t_a、t_b、t_c的大小關(guān)系是t_a=t_b＞t_c．重力加速度取為g，c球到達(dá)M點的時間為$\frac{（2k+1）π}{2}$$\sqrt{\frac{R}{g}}$ k=0、1、2、3、…．

Answer 1

分析 對于abc小球，根據(jù)幾何關(guān)系分別求出各個軌道的位移，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，再根據(jù)勻變速直線運(yùn)動的位移時間公式求出運(yùn)動的時間，從而比較出到達(dá)M點的先后順序；對于D球，單擺模型，根據(jù)單擺的周期公式求出運(yùn)動的時間．

解答 解：設(shè)斜面的傾角為θ，對于a、b球，位移x=2Rsinθ，
加速度為：a=$\frac{mgsinθ}{m}$=gsinθ，
由勻變速直線運(yùn)動的位移公式得：
x=$\frac{1}{2}$at²
則：t=$\sqrt{\frac{2x}{a}}$=$\sqrt{\frac{2Rsinθ}{gsinθ}}$=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，
則a、b的運(yùn)動時間相等，t_a=t_b，
c球的運(yùn)動類似單擺運(yùn)動，t_c=$\frac{1}{4}$T=$\frac{1}{4}$×2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$=$\frac{π}{2}$$\sqrt{\frac{R}{g}}$＜$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，
則：t_a=t_b＞t_c，
c球到達(dá)M點的時間可能為四分之一周期、或四分之三周期、kT加$\frac{1}{4}$T或kT+$\frac{3}{4}$T，
則c到達(dá)M的時間為：t_c=$\frac{（2k+1）π}{2}$$\sqrt{\frac{R}{g}}$  k=0、1、2、3、…；
故答案為：t_a=t_b＞t_c；$\frac{（2k+1）π}{2}$$\sqrt{\frac{R}{g}}$  k=0、1、2、3、…．

點評 解決本題的關(guān)鍵根據(jù)牛頓第二定律求出各段的加速度，運(yùn)用勻變速直線運(yùn)動的位移時間公式和單擺周期公式進(jìn)行求解．