Question

3．水平面上有一木板，質(zhì)量為M=2kg，板左端放有質(zhì)量為m=1kg的物塊（視為質(zhì)點(diǎn)），已知物塊與木板間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁=0.2，木板與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂=0.4．設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，取g=10m/s²．
（1）現(xiàn)用水平力F拉動(dòng)木板，為使物塊與木板一起運(yùn)動(dòng)而不相對(duì)滑動(dòng)，求拉力F的大小范圍？
（2）若拉動(dòng)木板的水平力F=15N，由靜止經(jīng)時(shí)間t₁=4s立即撤去拉力F，再經(jīng)t₂=1s物塊恰好到達(dá)板右端，求板長(zhǎng)L=？

Answer 1

分析 （1）物塊與木塊一起運(yùn)動(dòng)，拉力F必須大于木板與地面之間的最大靜摩擦力，當(dāng)m與M之間的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，拉力F達(dá)到最大值；
（2）拉動(dòng)木板的水平力F=15N，在第（1）問(wèn)拉力的范圍內(nèi)，整體先做勻加速運(yùn)動(dòng)，撤去F后，m向右勻減速，M向右勻減速，當(dāng)M靜止后，m繼續(xù)向右勻減速到木板右端，求出木板靜止前的相對(duì)位移和木板靜止后物塊的位移，即可求出木板的長(zhǎng)度；

解答 解：（1）M與地面之間的最大靜摩擦力${f}_{1}^{\;}={μ}_{2}^{\;}（M+m）g=0.4×（2+1）×10=12N$
當(dāng)M、m整體一起向右勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)m與M的靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，拉力F最大
對(duì)m：${μ}_{1}^{\;}mg=ma$①得$a={μ}_{1}^{\;}g=0.2×10m/{s}_{\;}^{2}=2m/{s}_{\;}^{2}$
對(duì)整體：$F-{μ}_{2}^{\;}（M+m）g=（M+m）a$②
代入數(shù)據(jù)：F-12=（2+1）×2
解得：F=18N
所以拉力F大小范圍是12N＜F≤18N
（2）拉動(dòng)木板的水平力F=15N，M、m一起勻加速運(yùn)動(dòng)
根據(jù)牛頓第二定律：$a=\frac{F-{μ}_{2}^{\;}（M+m）g}{M+m}=\frac{15-12}{2+1}m/{s}_{\;}^{2}=1m/{s}_{\;}^{2}$
${t}_{1}^{\;}=4s$時(shí)速度${v}_{1}^{\;}=a{t}_{1}^{\;}=1×4m/s=4m/s$
撤去F后，物塊加速度${a}_{1}^{\;}={μ}_{1}^{\;}g=2m/{s}_{\;}^{2}$
對(duì)木板：${μ}_{1}^{\;}mg-{μ}_{2}^{\;}（M+m）g=M{a}_{2}^{\;}$，
代入數(shù)據(jù)：$0.2×10-12=2{a}_{2}^{\;}$
解得：${a}_{2}^{\;}=-5m/{s}_{\;}^{2}$
木板向右速度減為0的時(shí)間
根據(jù)題意t₂=1s物塊恰好到達(dá)板右端
${t}_{1}^{\;}=\frac{0-{v}_{1}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{0-4}{5}s=0.8s$
在${t}_{1}^{\;}$時(shí)間內(nèi)物塊的位移：${x}_{1}^{\;}={v}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}-\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{2}$═$4×0.8-\frac{1}{2}×2×0．{8}_{\;}^{2}=2.56m$
木板的位移：${x}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}=\frac{4}{2}×0.8=1.6m$
物塊相對(duì)木板的位移$△x={x}_{1}^{\;}-{x}_{2}^{\;}=2.56-1.6=0.96m$
根據(jù)題意撤去力F后，再經(jīng)t₂=1s物塊恰好到達(dá)板右端
所以木板靜止后，木塊繼續(xù)運(yùn)動(dòng)o.2s
${t}_{1}^{\;}=0.8s$時(shí)物塊的速度${v}_{2}^{\;}={v}_{1}^{\;}-{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}=4-4×0.8=0.8m/s$
$△x′={v}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}-\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{2}^{2}$=$0.8×0.2-\frac{1}{2}×2×0．{2}_{\;}^{2}=0.12m$
木板長(zhǎng)：L=△x+△x′=0.96+0.12=1.08m
答：（1）現(xiàn)用水平力F拉動(dòng)木板，為使物塊與木板一起運(yùn)動(dòng)而不相對(duì)滑動(dòng)，拉力F的大小范圍為12N＜F≤18N
（2）若拉動(dòng)木板的水平力F=15N，由靜止經(jīng)時(shí)間t₁=4s立即撤去拉力F，再經(jīng)t₂=1s物塊恰好到達(dá)板右端，板長(zhǎng)L為1.08m

點(diǎn)評(píng) 解題的關(guān)鍵是正確對(duì)滑塊和木板進(jìn)行受力分析，清楚滑塊和木板的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求解，難度適中．