Question

9．若嫦娥三號衛(wèi)星在離月球表面為h的空中沿圓形軌道繞月球飛行，周期為T．若月球半徑r，引力常量為G．試推導：
（1）月球的質量的表達式；
（2）月球表面的重力加速度的表達式．

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力提供向心力，結合軌道半徑和周期求出月球的質量．
（2）根據萬有引力等于重力求出月球表面的重力加速度．

解答 解：（1）嫦娥三號圍繞月球做圓周運動時，有：$\frac{GMm}{（r+h）^{2}}=m（r+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$…①
解得：$M=\frac{{4{π^2}{{（r+h）}^3}}}{{G{T^2}}}$…②
（2）根據萬有引力等于重力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=mg$…③
解得：$g=\frac{{4{π^2}{{（r+h）}^3}}}{{{T^2}{r^2}}}$…④
答：（1）月球的質量表達式為得$M=\frac{{4{π^2}{{（r+h）}^3}}}{{G{T^2}}}$；
（2）月球表面的重力加速度為$g=\frac{{4{π^2}{{（r+h）}^3}}}{{{T^2}{r^2}}}$；

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論，1萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力，并能靈活運用．