Question

11．如圖所示，一個(gè)光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，圖中所示的夾角θ=30°．一長為L的輕質(zhì)繩一端固定在圓錐體的頂點(diǎn)O處，另一端掛一個(gè)質(zhì)量為m的小物體（可看成質(zhì)點(diǎn)），物體以速率v 繞圓錐體的軸線做水平方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．則：
（1）當(dāng)$v=\sqrt{\frac{1}{6}gL}$時(shí)，求繩對物體的拉力；
（2）當(dāng)$v=\sqrt{\frac{3}{2}gL}$時(shí)，求繩對物體的拉力．

Answer 1

分析 求出物體剛要離開錐面時(shí)的速度，此時(shí)支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界速度．當(dāng)速度大于臨界速度，則物體離開錐面，當(dāng)速度小于臨界速度，物體還受到支持力，根據(jù)牛頓第二定律，物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出繩子的拉力．

解答 解：當(dāng)物體離開錐面時(shí)：Tcosθ-mg=0，Tsinθ=$\frac{m{v}^{2}}{R}$，R=Lsinθ
解得v=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gl}{6}}$．
（1）v₁＜v時(shí)，有${T}_{1}sinθ-{N}_{1}cosθ=\frac{{{mv}_{1}}^{2}}{R}$，T₁cosθ+N₁sinθ-mg=0
解得${T}_{1}=\frac{3\sqrt{3}+1}{6}mg$．
（2）v₂＞v時(shí)，球離開錐面，設(shè)線與豎直方向上的夾角為α，
則T₂cosα-mg=0
${T}_{2}sinα=\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}$
R₂=Lsinα
解得T₂=2mg．
答：（1）當(dāng)$v=\sqrt{\frac{1}{6}gL}$時(shí)，繩對物體的拉力為$\frac{3\sqrt{3}+1}{6}mg$；
（2）當(dāng)${v}_{2}=\sqrt{\frac{3}{2}gL}$時(shí)，求繩對物體的拉力為2mg．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵找出物體的臨界情況，以及能夠熟練運(yùn)用牛頓第二定律求解．