Question

15．兩顆人造衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運動，它們的質量之比m_A：m_B=1：2，軌道半徑之比r_A：r_B=1：3，則此時它們與地球的萬有引力之比為F_A：F_B=9：2，它們的運行周期之比為T_A：T_B=$\sqrt{3}$：9．

Answer 1

分析 根據萬有引力提供向心力，得出線速度、周期與軌道半徑的關系，從而求出向心力、線速度、周期之比

解答 解：設地球的質量為M，根據萬有引力定律得：$\frac{{F}_{A}}{{F}_{B}}=\frac{\frac{GM{m}_{A}}{{{r}_{A}}^{2}}}{\frac{GM{m}_{B}}{{{r}_{B}}^{2}}}=\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}×\frac{{{r}_{B}}^{2}}{{{r}_{A}}^{2}}=\frac{1}{2}×\frac{{3}^{2}}{1}=\frac{9}{2}$
兩顆人造衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，即：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
所以他們的運行周期之比為：$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}=\frac{\sqrt{{{r}_{A}}^{3}}}{\sqrt{{{r}_{B}}^{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$
故答案為：$\frac{9}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{9}$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力，知道線速度、周期與軌道半徑的關系