Question

5．如圖所示．兩平行光滑的金屬導(dǎo)軌MN、PQ固定在水平面上，相距為L(zhǎng)，處于豎直向下的磁場(chǎng)中，整個(gè)磁場(chǎng)由n個(gè)寬度皆為x₀的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域1、2…n組成，從左向右依次排列，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小分別為B、2B、3B…nB，兩導(dǎo)軌左端MP間接入電阻R，一質(zhì)量為m的金屬棒ab垂直于MN、PQ放在水平導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌電接觸良好，不計(jì)導(dǎo)軌和金屬棒的電阻．
（1）對(duì)金屬棒ab施加水平向右的力，使其從圖示位置開始運(yùn)動(dòng)并穿過n個(gè)磁場(chǎng)區(qū)，求棒穿越磁場(chǎng)區(qū)1的過程中通過電阻R的電量q．
（2）對(duì)金屬棒ab施加水平向右的拉力，讓它從圖示位置由靜止開始做勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)棒進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)1時(shí)開始做勻速運(yùn)動(dòng)，速度的大小為v．此后在不同的磁場(chǎng)區(qū)施加不同的拉力，使棒保持做勻速運(yùn)動(dòng)穿過整個(gè)磁場(chǎng)區(qū)．取棒在磁場(chǎng)1區(qū)左邊界為x=0，作出棒ab所受拉力F隨位移x變化的圖象．
（3）求第（2）中棒通過第i（1≤i≤n）磁場(chǎng)區(qū)時(shí)的水平拉力Fi和棒在穿過整個(gè)磁場(chǎng)區(qū)過程中回路產(chǎn)生的電熱Q．
（用x₀、B、L、m、R、n表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出平均電流，帶入公式Q=It即可求出電量．
（2）線框開始做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，然后勻速運(yùn)動(dòng)，對(duì)于變加速過程根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可以求出時(shí)間．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理可以求出導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度大小，在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)因此安培力等于力F₁，根據(jù)受力平衡可以求出力F₁，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，導(dǎo)體棒克服安培力做功，轉(zhuǎn)化為回路中的電熱，根據(jù)功能關(guān)系寫出安培力做功表達(dá)式，然后依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求解．

解答 解：（1）電路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：$E=\frac{△Φ}{△t}$
通過電阻R的電量為：$q=I△t=\frac{E△t}{R}$
導(dǎo)體棒通過I區(qū)過程：△Φ=BLx₀
解得：$q=\frac{BL{x}_{0}}{R}$
故導(dǎo)體棒穿越磁場(chǎng)區(qū)1的過程中通過電阻R的電量：$q=\frac{BL{x}_{0}}{R}$．
（2）設(shè)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為v₀，則產(chǎn)生的感應(yīng)電流為：
${I}_{0}=\frac{E}{R}=\frac{BL{v}_{0}}{R}$
導(dǎo)體棒受到的安培力與水平向右的恒力F₀平衡，則
BI₀L=F₀
解得：${v}_{0}=\frac{{F}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$
設(shè)棒通過磁場(chǎng)去I在△t時(shí)間內(nèi)速度的變化為△v，對(duì)應(yīng)的位移為△x，則
${F}_{0}-BIL=m\frac{△v}{△t}$
$△v=\frac{{F}_{0}}{m}△t-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}v△=\frac{{F}_{0}}{m}△t-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}△x$
則$∑△v=\frac{{F}_{0}}{m}∑△t-\frac{{B}^{2}{L}^{2}\;}{mR}∑△x$
解得：$t=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{{F}_{0}R}+\frac{mR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
故棒通過磁場(chǎng)區(qū)1所用的時(shí)間$t=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{{F}_{0}R}+\frac{mR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（3）設(shè)進(jìn)入I區(qū)時(shí)拉力為F₁，速度v，則有：
${F}_{1}{x}_{0}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$ 
 ${F}_{1}-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}\;=0$
解得：${F}_{1}=\frac{2{B}^{4}{L}^{4}{x}_{0}}{m{R}^{2}}$，$v=\frac{2{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{mR}$
進(jìn)入i區(qū)的拉力：${F}_{i}=\frac{2{i}^{2}{B}^{4}{L}^{4}{x}_{0}\;}{m{R}^{2}}$．
導(dǎo)體棒以后通過每區(qū)域都以速度v做勻速運(yùn)動(dòng)，由功能關(guān)系有：
Q=F₁x₀+F₂x₀+…+F_nx₀
解得：$Q=\frac{2{x}_{0}^{2}{B}^{4}{L}^{4}}{m{R}^{2}}（{1}^{2}+{2}^{2}+…{n}^{2}）$
故棒ab通過第i磁場(chǎng)區(qū)時(shí)的水平拉力的拉力：${F}_{i}=\frac{2{i}^{2}{B}^{4}{L}^{4}{x}_{0}\;}{m{R}^{2}}$，棒ab在穿過整個(gè)磁場(chǎng)區(qū)過程中回路產(chǎn)生的電熱$Q=\frac{2{x}_{0}^{2}{B}^{4}{L}^{4}}{m{R}^{2}}（{1}^{2}+{2}^{2}+…{n}^{2}）$．
答：（1）導(dǎo)體棒穿越磁場(chǎng)區(qū)1的過程中通過電阻R的電荷量是$\frac{BL{x}_{0}}{R}$；
（2）對(duì)導(dǎo)體棒ab施加水平向右的恒力F₀，讓它從磁場(chǎng)區(qū)1左側(cè)邊界處開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)向右運(yùn)動(dòng)距$\frac{{x}_{0}}{2}$時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，棒通過磁場(chǎng)區(qū)1所用的時(shí)間t為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{{F}_{0}R}+\frac{mR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）棒ab通過第i磁場(chǎng)區(qū)時(shí)的水平拉力F_i為$\frac{2{i}^{2}{B}^{4}{L}^{4}{x}_{0}}{m{R}^{2}}$，棒ab在穿過整個(gè)磁場(chǎng)區(qū)過程中回路產(chǎn)生的電熱為$\frac{2{x}_{0}^{2}{B}^{4}{L}^{4}}{m{R}^{2}}（{1}^{2}+{2}^{2}+…{n}^{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了電磁感應(yīng)中力學(xué)與功能問題，物理過程比較簡(jiǎn)單，難點(diǎn)在于應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解答物理問題．