Question

9．一組宇航員乘坐太空穿梭機S，去修理位于離地球表面h=6.0×10⁵m的圓形軌道上的太空望遠鏡H．機組人員使穿梭機S進入與H相同的軌道并關閉助推火箭，望遠鏡則在穿梭機前方數千米處，如圖所示．已知地球半徑為R=6.4×10⁶m，地球表面重力加速度為g=9.8m/s²，第一宇宙速度為v=7.9km/s．
（1）穿梭機所在軌道上的重力加速度g′為多少？在穿梭 機內，一質量為m=70kg的宇航員受的重力G′是多少？
（2）計算穿梭機在軌道上的速率v′．
（3）穿梭機需先進入半徑較小的軌道，才有較大的角速度追上望遠鏡，試判斷穿梭機要進入較低軌道時應增加還是減小其原有速率，試說明理由．

Answer 1

分析 衛(wèi)星在原有軌道上加速做離心運動，軌道半徑增大，在原有軌道上減速做向心運動，軌道半徑減�。�
根據萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=mg′$，以及地球表面上的物體受到的重力等于萬有引力$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，化簡得到加速度的表達式，代入數據計算即可

解答 解：（1）由mg=G$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得地球表面的重力加速度為g=$\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$，
同理穿梭機所在軌道上的向心加速度為g′=$\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$
聯立以上二式并代入數據解得：g′=8.2m/s²
（2）由$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，
可得第一宇宙速度為：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
同理穿梭機在軌道上的速率為：v′=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
代入數據解得：v′=7.6km/s
（3）應減速．由$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{v{′}_{\;}^{2}}{r}$知穿梭機要進入較低軌道，必須有萬有引力大于穿梭機做圓周運動所需的向心力，故當v′減小時，m$\frac{v{′}_{\;}^{2}}{r}$才減小，則$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}＞m\frac{v{′}_{\;}^{2}}{r}$．
答：（1）穿梭機所在軌道上的向心加速度g′為8.2m/s²；
（2）計算穿梭機在軌道上的速率v′為7.6km/s；
（3）應減速，穿梭機要進入較低軌道，必須有萬有引力大于穿梭機做圓周運動所需的向心力．

點評 本題關鍵抓住萬有引力提供向心力和重力等于萬有引力，列式求解出加速度的表達式，代入數據進行計算．