Question

如圖所示，已知半徑分別為R和r（R＞r）的甲、乙兩個(gè)光滑的圓形軌道安置在同一豎直平面上，甲軌道左側(cè)又連接一個(gè)光滑的軌道，兩圓形軌道之間由一條水平軌道CD相連．一小球自某一高度由靜止滑下，先滑上甲軌道，通過動(dòng)摩擦因數(shù)為μ的CD段，又滑上乙軌道，最后離開圓軌道．若小球在兩圓軌道的最高點(diǎn)對(duì)軌道壓力都恰好為零．試求：
（1）分別經(jīng)過C、D時(shí)的速度；
（2）小球釋放的高度h；
（3）水平CD段的長(zhǎng)度．

Answer 1

解：（1）小球在光滑圓軌道上滑行時(shí)，機(jī)械能守恒，設(shè)小球滑過C點(diǎn)時(shí)的速度為v_c，通過甲環(huán)最高點(diǎn)速度為v′，根據(jù)小球?qū)ψ罡唿c(diǎn)壓力為零，有
①
取軌道最低點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)，由機(jī)械守恒定律
②
由①、②兩式消去v′，可得　
　　　　　　　 ③
同理可得小球滑過D點(diǎn)時(shí)的速度
　　　　　　　　　 ④
所以小球經(jīng)過C點(diǎn)的速度為 經(jīng)過D點(diǎn)的速度為
（2）小球從在甲軌道左側(cè)光滑軌道滑至C點(diǎn)時(shí)機(jī)械能守恒，有
　 ⑤
由③、⑤兩式聯(lián)立解得
h=2.5R
因此小球釋放的高度為2.5R
（3）設(shè)CD段的長(zhǎng)度為l，對(duì)小球滑過CD段過程應(yīng)用動(dòng)能定理
　 ⑥
由③、④、⑥三式聯(lián)立解得

則有水平CD段的長(zhǎng)度為
分析：小球滾到兩圓軌道最高點(diǎn)均僅受重力，運(yùn)用向心力公式可求出在其位置的速度．因?yàn)檐壍拦饣�，則由機(jī)械能守恒定律可求出軌道最低點(diǎn)速度，從而也求出釋放的高度．由于CD段粗糙，不能運(yùn)用機(jī)械守恒定律，選用動(dòng)能定理，就可算出長(zhǎng)度，
點(diǎn)評(píng)：掌握向心力公式外，還熟悉了牛頓第二定律，最后比較了機(jī)械能守恒定律與動(dòng)能定理的優(yōu)缺點(diǎn)．本題中小球在軌道最高點(diǎn)壓力為零是解題的切入點(diǎn)．