Question

5．如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過(guò)陶罐球心O的對(duì)稱軸OO′重合．轉(zhuǎn)臺(tái)以一定角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)罐壁靜止，它和O點(diǎn)的連線與OO′之間的夾角θ為60°．重力加速度大小為g．
（1）若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求ω₀；
（2）若ω=2ω₀，求小物塊受到的摩擦力的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）小物塊受到的摩擦力恰好為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的大小；
（2）當(dāng)角速度為2ω時(shí)，重力和支持力的合力不夠提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向下，根據(jù)牛頓第二定律求出摩擦力的大�。�

解答 解：（1）當(dāng)摩擦力為零，支持力和重力的合力提供向心力，有：
mgtan$θ=mRsinθ{{ω}_{0}}^{2}$，
解得
${ω_0}=\sqrt{\frac{2g}{R}}$
（2）當(dāng)角速度增大時(shí)，滑塊有沿斜面向上滑的趨勢(shì)，摩擦力沿罐壁切線向下，受力如下圖所示．
Ncosθ-fsinθ-mg=0
Nsinθ+fcosθ=mr（2ω）²
聯(lián)立得：f=3mgsinθ=$3mg\sqrt{1-\frac{{g}^{2}}{{R}^{2}{ω}^{4}}}$．
答：（1）小物塊受到的摩擦力恰好為零時(shí)，${ω}_{0}=\sqrt{\frac{2g}{R}}$．
（2）若ω=2ω₀，小物塊受到的摩擦力的大小為$3mg\sqrt{1-\frac{{g}^{2}}{{R}^{2}{ω}^{4}}}$，方向沿圓弧的切線向下．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵搞清物塊做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力進(jìn)行求解．